数学上,特别是在群论中,的元素可以分割共轭类(英语:Conjugacy class);同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于该群的结构的重要特征。对于交换群,这个概念是平凡的,因为每个类就是一个单元素集合

在同一个共轭类上取常值的函数称为类函数

定义

对于群   中的元素     称为   关于  共轭。类似地,对元素    ,如果存在元素   使得   ,可以称    共轭

对由可逆矩阵构成的一般线性群   ,共轭的元素(矩阵)称为相似矩阵

共轭是一种等价关系,因此可以   分割等价类。(这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类,而类    相等当且仅当    共轭,否则不相交。)包含群   中元素   的等价类是

 

称为  共轭类 类数是不同共轭类的个数。同一个共轭类中的元素的相同。

例子

对称群 ,由所有3个元素的6个置换组成,拥有三个共轭类:

  • 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
  • 对换 (abc -> acb,abc -> bac,abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
  • 三阶轮换 (abc -> bca,abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群 ,由4个元素的全部24个置换组成,有5个共轭类:

  • 恒等
  • 对换
  • 三阶轮换
  • 四阶轮换
  • 双对换

参看立方体的恰当转动,它可以用体对角线的枚举刻划。

  •  矩阵,在同一个共轭类的矩阵称为相似矩阵。

属性

  • 单位元总是自成一类,也就是说 
  •  可交换,则 对于所有  属于 成立;所以 对于 属于 成立;可见这个概念对于交换群不是很有用。
  •  的两个元素  属于同一个共轭类(也即,若它们共轭),则它们有同样的。更一般地讲,每个关于 的命题可以转换成关于 的一个命题,因为映射 是一个 自同构
  •  的一个元素 位于 中心 当且仅当其共轭类只有一个元素, 本身。更一般地讲,若 代表  中心化子,也即,有所有满足 的元素 组成的子群,则指数 等于 的共轭类中元素的个数。

共轭群作用

  为群,对任意   ,定义   关于自身的群作用

 

  在作用   上的轨道是其在群   中的共轭类。元素  稳定子群等于该元素的中心化子。

类似地,我们可以令   作用在   的所有子集构成的集合,有

 

又或者是作用在  子群构成的集合。

共轭类方程

  为有限群,对   的任意元素   ,其共轭类中的元素可以与中心化子  陪集一一对应。因为同一陪集的任意两元素    (存在   使得   )对   的共轭相同:

 

由于    上的轨道等于其共轭类,其稳定子群等于其中心化子,上述结论亦可以由轨道-稳定化子定理给出。

  的共轭类的元素个数等于它的中心化子的指数   ,因而整除  

进一步的有,对于任何群   ,从   的每个元素个数大于   的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集   。则   是群的中心   以及   中所有元素的共轭类  不交并集。由此可得群论中重要的类方程

 

其中求和取遍对于每个   中的    。注意    的共轭类的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子

考虑一个有限的 p-群   (即元素数目为   的群,其中   是一个质数  )。我们将证明:每个有限p-群有非平凡的中心。

因为   的任意子群的指数必须整除   的次数,所以每个   等于   的一个幂    。类方程给出

 

由于   整除     必须整除   ,所以  

子群和一般子集的共轭

更一般的来讲,给定任意G子集SS不必是子群),我们定义一个G的子集TS的共轭,当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg−1。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是,给定任意子集S,N(S)(S正规化子)的指数等于Cl(S)的次数:

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为,如果gh属于G,则gSg−1 = hSh−1当且仅当gh −1属于N(S),换句话说,当且仅当gh属于N(S)的同一个陪集

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理(S = {a}的特殊情况)。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类,两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的,但是同构子群未必共轭(例如,交换群可以有两个不同的互相同构的子群,但是它们不可能共轭)。

作为群作用的共轭类

如果对于任意两个G中的元素gx定义

g.x = gxg−1

则我们有了一个GG上的群作用。该作用的轨道就是共轭类,而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样,我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg−1

参看

参考