勾股数

符合勾股定理的三個正整數解組成的數組

勾股数,又名商高数毕氏数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)“”之中,的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形

如果是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即也是勾股数。若果三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数本原勾股数组

找出素勾股数

以下的方法可用来找出勾股数。设   均是正整数,

 
 
 

  互质,而且  为一奇一偶,计算出来的 就是素勾股数。(若  都是奇数 就会全是偶数,不符合互质。)

所有素勾股数可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

例子

以下是小于 100 的素勾股数:

     
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
11 60 61
12 35 37
13 84 85
16 63 65
20 21 29
28 45 53
33 56 65
36 77 85
39 80 89
48 55 73
65 72 97

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现:  

其中最先例子是5,它在以下两组勾股数之中出现  

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:

 
 
 

 
 
 

试考虑它的质因数分解

 

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。

性质

对于本原勾股数组  ,我们有

  •  两两互质
  •  其中一个是3的倍数
  •  其中一个是4的倍数
  •  其中一个是5的倍数

对于第二、三、四条性质的证明:

利用完全平方数  都不是3的倍数,则 ,导致  矛盾,所以 一定有且只有一个数是3的倍数。

因为 是本原勾股数组,所以必有 一奇一偶。不妨设 为奇数, 为偶数,这时候对 两边同时 ,则会得到 ,故 ,所以 一定有且只有一个数是4的倍数。

利用完全平方数  都不是5的倍数,则   ,而  ,矛盾,所以 一定有且只有一个数是5的倍数。

证毕。

找寻勾股数的小技巧

若需要一组最小数为奇数的勾股数,可任意选取一个 3 或以上的奇数,将该数自乘为平方数,除以 2,答案加减 0.5 可得到两个新的数字,这两个数字连同一开始选取的奇数,三者必定形成一组勾股数[1]。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的最小可能或唯一可能,例如 并非是以 27 为起首的唯一勾股数,因为存在另一个勾股数是 ,同样也以 27 为首。

对于任何大于1的整数    ,三个数必为毕氏数[1],例如:代入 为2,则 为5, 为3, 为4, 为一组毕氏数。

推广

费马最后定理指出,若 ,而 是大于 2 的整数, 即没有正整数解。

参见

外部链接

  1. ^ 1.0 1.1 宋蕙君; 陈柏扬; 谢明君. 〈哇!這是什麼 5,4,3 啊!〉 (PDF). 桃园县立大竹国民中学. 中华民国第四十八届中小学科学展览会. 2008年. (原始内容 (PDF)存档于2022-10-12).