包立方程式

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小则用

r\,\!

来表示。

包立方程式或称薛丁格-包立方程式，为描述带有自旋1/2的粒子在与电磁场交互作用下的修正方程式（自旋1/2粒子例如电子）。在此之前，用以描述粒子行为的薛丁格方程式则未考虑到粒子自旋的性质。其为狄拉克方程式在非相对论极限下的特例，应用在粒子速度慢到相对论效应可以忽略的场合。

包立方程式是由沃尔夫冈·包立于1927年所建构。

方程式

一自旋粒子具有质量m、电荷q，于外加电磁场中运动；外加电磁场可以纯量势ϕ、向量势A = (A_x, A_y, A_z)来描述。包立方程式可描述外加电磁场与自旋交互作用的影响：

包立方程式 （广义形式）

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

其中

\mathbf {p}

为动量算符（p = −iħ∇，∇为梯度算符），

{\vec {\sigma }}

为包立矩阵，

|\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}

为包立旋量。

两个旋量分量都满足薛丁格方程式

{\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle

，

这表示系统是有额外但简并的的自由度。

另可看出包立方程式的哈密顿算符为：

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi

因包立矩阵的存在，此哈密顿算符为2 × 2矩阵算符。包立方程式的哈密顿算符形似于带电粒子在电磁场中的古典哈密顿算符，但后者没有考虑到自旋。

包立矩阵可以从动能项中移出，只要使用包立矩阵的关系式：

({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)

将p = −iħ∇代入，可得到^[1]

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi

其中B = ∇ × A，即磁场。

与斯特恩-革拉赫实验的关系

包立方程式可分拆为两项：

包立方程式 （磁场B）

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}$