卡茨-穆迪代数

卡茨-穆迪代数是一个李代数,通常无限维,其定义自(Victor Kac所谓的)广义根系。卡茨-穆迪代数的应用遍及数学理论物理学

定义

假定以下材料:

  •   ——一个r广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix)   r.
  •   ———— 一个 2n − r维复向量空间  .
  •   ————  对偶空间
  •   ———— n 枚相互独立的元,称为对偶根(co-root)
  •   ———— n 枚线性相互独立的元 ,称为(root)
  • 上述各元满足  .

卡茨-穆迪代数  由符号   ,   (i=1,..,n) 及空间  生成:

以上各元满足以下关系:

  •  
  •   ;其中  
  •  , 其中 
  •  , 其中  
  •   ;其中  
  •   ;其中 出现   次;
  •   ;其中 出现   次;

(其中  .)

一个 (维数可以无限)李代数亦可称为 Kac–Moody代数,若其 复化 是个 Kac–Moody代数.

释义

  •   是此卡茨-穆迪代数的一嘉当子代数
  • g 是 Kac–Moody 代数的一元,使得
 

其中 ω 是  的一元,

则称g(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间,则嘉当子代数  的幂为零,ei的幂为α*i,而fi的幂为−α*i。若二幂特征向量的李括号非零,则其幂是二幂之和。(若   ) 则   一条件即指 α*i 都是简单根。

分类

我们可分解广义嘉当矩阵 C 成矩阵积 DS, 其中 D 是 正对角矩阵, S 是 对称矩阵。 然则有三种可能:

S 不可能 负定负半定 因其对角元皆正.

参见

参考