反对称矩阵

线性代数中,反对称矩阵(或称斜对称矩阵)指转置矩阵和自身的加法逆元相等的方形矩阵。其满足:

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
AT = − A

或写作,各元素的关系为:

例如,下例为一个斜对称矩阵:

在非偶数域中,斜对称矩阵中的主对角线元素皆为0。

例子

 

特性

  • 斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵
  • 任意矩阵  是斜对称矩阵。
  •  是斜对称矩阵, 向量 
  • 斜对称矩阵的主对角线元素必是零,所以其迹数为零。

行列式

  的斜对称矩阵,其行列式满足

 
  •  是奇数,行列式等于零。这个结果叫雅可比定理
  •  是偶数,行列式可以写成部分元素的多项式的平方: 

这个多项式  普法夫行列式。任意实斜对称矩阵的行列式是非负数。

谱理论

斜对称矩阵的特征根永远以成对的形式(±λ)出现,因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是实数。

实斜对称矩阵是正规矩阵(它们与伴随矩阵可交换),因此满足谱定理的条件,它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数,因此无法用实矩阵来对角化。然而,通过正交变换,可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地,每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩阵,且:

 

对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中,Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

无穷小旋转

斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上,斜对称矩阵可以视为无穷小旋转

另外一种说法是,斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出:

 

很容易验证,两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。

于是,斜对称矩阵A矩阵指数,是正交矩阵R

 

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中,这个连通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是,每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

参见

参考文献