群论里,四元群 (Quaternion Group) 是指一个为8的非交换群,常被简写为 ,且用乘法的形式表示。包含下列8个元素:

Q环图。每一种颜色代表连结至单位元(1)之任一元素的次方。例如,红色的环反映了,亦反映了

其中, 代表单位元素,且 。对于每个元素 ,有 的关系。另外,

凯莱表如下:

1 i j k −1 −i −j −k
1 1 i j k −1 −i −j −k
i i −1 k −j −i 1 −k j
j j −k −1 i −j k 1 −i
k k j −i −1 −k −j i 1
−1 −1 −i −j −k 1 i j k
−i −i 1 −k j i −1 k −j
−j −j k 1 −i j −k −1 i
−k −k −j i 1 k j −i −1

需要特别留意,这个群不是交换群,例如 有著汉弥尔顿群较不常见的性质:每一个 子群都是其正规子群,但这个群不是交换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个

抽象代数里,可以造出一个其基底为 的四维实向量空间,并使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数,称为一个四元数除环。需要注意的是,这不是在 上的群代数(其应该是8维的)。相反地,也可以先由四元数开始,再“定义”出由八个元素 所组成之乘法子群作为四元群。

都是 为4的元素,任意选择其中两个就可以生成出整个群。 有著下列的展现 (presentation):

其中可以取

中心交换子群。其商群 同构克莱因四元群 (Klein four-group) 。而 内自同构群 (Inner Automorphism Group) 同构于 同馀其中心,且因此也会同构于克莱因四元群自同构群会同构于对称群 外自同构群因此为

四元群 亦可视为是作用于在有限体 上之二维向量空间的八个非零元素。关于其图像,请见图像化GL(2,p)页面存档备份,存于互联网档案馆)。

广义四元群

一个群若被称为广义四元群,则表示其有一个展现

 

其中   为整数。这个群的 。原本的四元群为   时的特例。广义四元群可以被理解为单位四元数的子群,其生成元 (generator) 为

 
 

广义四元群是双循环群此一更大类型的一类。广义四元群有著每个交换子群都是循环群的性质。可证明一具有此性质(每个交换子群都是循环群)的有限p-群若不是循环群就是广义四元群。

另见