多连立方体

多连立方体是由一个或是多个立方体互相连结组成的几何形状；也是平面多连方块（也称多格骨牌或四角系统）的三维版本。多连立方体的应用有索马立方跟贝德兰姆立方的组合问题等^[1]。

多连立方体的列举

像平面多方块组合一样，多连立方体的列举方式有两种，分成考虑镜对称与不考虑镜对称两种计算方式。例如，6个四连立方体具有镜像对称性，一个是手性的，所以考虑镜对称有7种、不考虑镜对称则有8种四连立方体。^[2]多连立方体计算镜射的方式与多格骨牌不同，因为多格骨牌可以将其翻转过来形成镜射像，而多连立方体不能。尤其是在索马立方就包含了两种形式的手性四连立方体。

多连立方体可根据它们由多少个立方体单元组成进行分类：^[3]

n	多连立方体的名称	不考虑镜对称	考虑镜对称
1	单立方体 monocube	1	1
2	双立方体 dicube	1	1
3	三连立方体 tricube	2	2
4	四连立方体 tetracube	8	7
5	五连立方体 pentacube	29	23
6	六连立方体 hexacube	166	112
7	七连立方体 heptacube	1023	607
8	八连立方体 octocube	6922	3811

多连立方体已被枚举到十六连立方体（n=16）^[4]

多连立方体的对称性

与多格骨牌一样，多连立方体也可以根据其对称性来进行分类。多连立方体对称性（非手性八面体群子群的共轭类）由W·F·伦农（W. F. Lunnon）在 1972 年首次列举。大多数多连立方体是不对称的，但许多具有更复杂的对称群，甚至存在有多达48个元素的立方体全对称群。其他种类的对称性也是有可能的，例如七种八重对称性的可能形式。^[2]

五连立方体

12个平面的五连立方体与五格骨牌相互对应。其馀17个五连立方体中，5个具有镜像对称性，另外12个形成6组手性对。

五连立方体的包围盒可能的尺寸有5×1×1、4×2×1、3×3×1、3×2×1、4×2×2、3×2×2和2×2×2。^[5]

八连立方体与超立方体展开图

达利十字

四维空间的超立方体是三维空间的立方体在四维空间的类比，由8个立方体组成，其可以像立方体展开成六连正方形那样展开为八连立方体。其中一个展开与立方体较知名的展开图——展开成拉丁十字的外形类似，他由四个立方体堆叠组成，另外四个立方体附著于四个堆叠立方体的第二个立方体露出的4个面上，形成一个三维空间双十字的样式。萨尔瓦多·达利将这种形状用于其1954的画作《耶稣受难（英语：Crucifixion (Corpus Hypercubus)）》上^[6]^:72^[7]，并在罗伯特·海莱因1940年的短篇小说《—且他建造了一座歪曲的房子—（英语："—And_He_Built_a_Crooked_House—"）》中也有所描述。^[8]为了纪念达利，这个八连立方体被称为达利十字。^[9]^[10]这个八连立方体可以填充空间^[9]。

更一般地说，在所有 3811 个不同的自由八连立方体中，有261个是四维超正方体的展开图。^[9]^[11]

参考资料

^ Weisstein, Eric W. (编). Polycube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-07-27]. （原始内容存档于2017-06-29）（英语）.
^ ^2.0 ^2.1 Lunnon, W. F., Symmetry of Cubical and General Polyominoes, Read, Ronald C. (编), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press: 101–108, 1972, ISBN 978-1-48325-512-5
^ Polycubes, at The Poly Pages. recmath.org. [2022-08-12]. （原始内容存档于2021-07-25）.
^ Kevin Gong's enumeration of polycubes. [2022-08-12]. （原始内容存档于2013-09-04）.
^ Aarts, Ronald M（英语：Ronald Aarts）. "Pentacube". From MathWorld. [2022-08-13]. （原始内容存档于2019-09-08）.
^ Theoni Pappas, 陈以鸿译. 《數學放輕鬆》. 台北县新店市: 世茂出版社. 2004. ISBN 9577766110.
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^ Fowler, David, Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction, World Literature Today, 2010, 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086, Robert Heinlein's "And He Built a Crooked House," published in 1940, and Martin Gardner's "The No-Sided Professor," published in 1946, are among the first in science fiction to introduce readers to the Moebius band, the Klein bottle, and the hypercube (tesseract). .
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph, Hypercube unfoldings that tile $\mathbb {R} ^{3}$ and $\mathbb {R} ^{2}$ , 2015, Bibcode:2015arXiv151202086D, arXiv:1512.02086  .
^ Langerman, Stefan; Winslow, Andrew, Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion (PDF), 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016), 2016 [2022-08-12], （原始内容存档 (PDF)于2022-09-18） .
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