拉开
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在数学中,拉开(法文:éclatement,英文:blowing up)、单项变换或σ-过程是一种几何的操作,代数几何中的应用尤重。拉开是双有理几何的基本工具。对代数簇或复流形 上一点 的拉开是将该点换为该点法丛的射影丛,或者具体地说是换为该点切空间的射影空间,从而得到拉开态射 ,这是一个双有理等价。对较高维子流形也能定义拉开。
当代代数几何学将拉开视为对概形的内在操作,然而拉开也有外在的描述法,例如取一平面曲线,并对它所处的射影平面作某类变换;这是古典的进路,其想法至今仍反映于用语上。
对仿射空间中一点作拉开
以下仅考虑复数域 上的情形,一般构造准此可知。
令 为复仿射空间 的原点,仿射空间的元素以坐标表为 。令 为 -维复射影空间,其元素以齐次坐标表示为 。 令 为 中由等式 定义之闭子集,其中 。则投影态射
自然地导出态射(特别也是全纯函数)
此态射 (或者更常指空间 )称为 的拉开。
例外除数 定义为 对态射 的逆像。可以证明
同构于射影空间。它是个非负除数,而且在 之外 是同构。因此 是 与 之同构。
对复流形的子流形作拉开
一般来说,我们可以开任何馀维为 的复子流形 。设 由方程式 定义,并设 为 上的齐次坐标。沿 的拉开 定义为方程 (对所有 )在空间 中定义的闭子集。
进一步推广,我们可拉开任何复流形 的任一复子流形 ,方式是局部上化约到上述情形,拉开后再予以黏合。效果依然,我们将 拉开为例外除子 。而拉开态射
依然是双有理的,并在 外是同构。 可自然地视作 的法丛的射影化,因此 局部上是纤维化映射,其纤维为 。
由于 是平滑除子,其法丛为线丛。对于曲面的情形,可证明 的自相交数为负,这表明其法丛没有整体上定义的截面。 是其同调类在 上的唯一代表,原因在于:假设 经扰动后变为代表同一同调类的另一个复子流形,则它和 的相交数必为正,故矛盾。这是例外除子之所以“例外”之故。
设 维某个 中不等于 的复子流形。若 不交 ,则它本质上不受沿 的拉开影响。然而若有相交,则 在 中导出两个几何对象:一者是真变换或称严格变换,它是 在 中的闭包,其法丛一般与 的不同。另一者是全变换,包含 的全体或一部分,其同调类基本上是 的上同调类之拉回。
推广:概形的拉开
拉开可以在一般的概形上定义。令 为一概形,并设 为其上一凝聚理想层, 沿 的拉开是概形 及真态射
- 对任何态射 ,若它使得 是可逆层,则 唯一地透过 分解。
此拉开可具体地由
重要性质
与有理映射的关系
与奇点解消的关系
曲面的拉开
在平滑的射影曲面上,任何双有理等价皆可分解为一系列的拉开与缩回。
以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分类中的基本工具:
定理 . 设 为平滑射影曲面, 为 上一个既约除数,若其相交矩阵 负定,则 可表成某个代数曲面的拉开,使得 为其例外除数。
相交理论
相关的建构
向法锥变形
向法锥变形的技术可以证明代数几何中的许多结果。给定一个概形 及其闭子概形 ,我们在 中拉开 ,则
是纤维化映射。沿著 的一般纤维自然同构于 ,而中心纤维则是两个概形的并集:一者是 沿 的拉开;另一者则是 的法锥,其中我们将纤维紧化为射影空间。
辛流形的拉开
拉开也可以在辛流形的范畴中施行,称作辛拉开。方式是将辛流形赋予殆复结构,然后仿照复拉开的模式。然而这仅在拓扑层次上有意义,我们必须小心地为拉开后的空间赋予一个辛形式,因为我们不能任意将辛形式沿例外除数 延拓,而必须在 的一个邻域上修改之;或藉著将 的一个开邻域切下,然后适当地折叠边界以完成拉开。较好的理解方式是利用辛切割的一般理论,其中辛拉开只是个特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除数向法锥变形的类比。
文献
- Fulton, William. Intersection Theory. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98549-7.
- Griffiths, Phillip and Harris, Joseph. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. 1978. ISBN 978-0-471-32792-9.
- Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9.
- McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 978-0-19-850451-1.