李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数，得名于俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫（Александр Михайлович Ляпунов），在动力系统稳定性理论及控制理论中相当重要。相似的概念见于一般状态空间马尔科夫链理论中，通常称为福斯特-李雅普诺夫函数（Foster–Lyapunov function）。若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李亚普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李亚普诺夫候选函数，而找不到李亚普诺夫函数也不代表此系统不稳定。不过，Cem Civelek教授根据公式类型给出了一种在自主情形下使用最一般形式构建常微分方程李雅普诺夫函数的系统方法。很多时候李雅普诺夫函数的构造是已知的，例如有许多应用数学家^{[来源请求]}认为，无法构建耗散陀螺系统的李雅普诺夫函数。但C. Civelek和Ö. Cihanbegendi指出，根据上述文献的说法，可以给这样的系统构建李雅普诺夫函数。另外，二次函数足以用于单态系统；特定线性矩阵不等式之解为线性系统提供了李雅普诺夫函数。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李亚普诺夫候选函数。

针对自治系统的李亚普诺夫定理，直接使用李亚普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李亚普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李亚普诺夫函数。

李亚普诺夫候选函数的定义

令

V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

为纯量函数。
若要 $V$ 为李亚普诺夫候选函数，函数 $V$ 需为局部正定函数，亦即

V(0)=0\,

V(x)>0\quad \forall x\in U\setminus \{0\}

其中 $U$ 是 $x=0$ 的邻域。

系统平衡点的转换

令

g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}

{\dot {y}}=g(y)\,

为一个自治的动态系统，其平衡点为 $y^{*}\,$ :

0=g(y^{*})\,

可利用 $x=y-y^{*}\,$ 的座标转换，使得

{\dot {x}}=g(x+y^{*})=f(x)\,

0=f(x^{*})\quad \Rightarrow \quad x^{*}=0\,

在新的系统 $f(x)$ 中，其平衡点为原点。

若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。

自治系统的基本李亚普诺夫定理

令

x^{*}=0\,

为以下自治系统的平衡点

{\dot {x}}=f(x)\,

且令

{\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}=\nabla V{\dot {x}}=\nabla Vf(x)

为李亚普诺夫候选函数 $V$ 的时间导数。

稳定平衡点

若在平衡点的邻域 ${\mathcal {B}}$ ，李亚普诺夫候选函数 $V$ 为正定，且其时间导数半负定：

{\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}

则此平衡点为一稳定的平衡点。

局部渐近稳定平衡点

若在平衡点的邻域 ${\mathcal {B}}$ ，李亚普诺夫候选函数 $V$ 为正定，且其时间导数为负定：

V(x)>0,{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。

全域渐近稳定平衡点

若李亚普诺夫候选函数 $V$ 为全域正定，其时间导数为全域负定：

V(x)>0,{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},

且 $V$ 满足以下的条件（称为“径向无界” radially unbounded）：

\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty

.

则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。

参见

参考资料

埃里克·韦斯坦因. Lyapunov Function. MathWorld.
Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996.
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李亚普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域，尤其是随机微扰的非线性系统: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6. online: https://web.archive.org/web/20071012194420/http://decision.csl.uiuc.edu/~meyn/pages/book.html . Second edition to appear, Cambridge University Press, 2009.

外部链接

Example 利用李雅普诺夫函数判别常微分方程平衡点稳定性的一些例子
Some Lyaponov diagrams