柯西函数方程

柯西函数方程是以下的函数方程：

f(x+y)=f(x)+f(y)\

此方程的解被称为加性函数。

方程的解

在有理数的范围中，可以用简单的代数得到唯一一类的解，表示为 $f(x)=cx\$ ，其中 $c$ 任意给定的有理数。

在实数中，这个方程仍然有这一类解，然而存在著其他非常复杂的解，函数 f 经常被外加条件以排除那些复杂的解。例如：

若 f 是连续的 (由柯西于1821年证明)。这个条件在1875年被达布弱化，证明 f 只需要在一点连续。
若 f 在任一个区间上是单调的
若 f 在任一个区间上是有界的

另一方面，如果函数 f 没有其他限制条件，那么满足方程的函数有无穷多个(假设选择公理成立)。这在1905年由乔治·哈梅尔（英语：Georg Hamel）使用基的概念证明。

希尔伯特的第五个问题是这个方程的推广。

存在实数 $c\$ 使得 $f(cx)\neq cf(x)\$ 的解称为柯西─哈默方程（英语：Cauchy-Hamel function(s)）。在希尔伯特的第三个问题中，往高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（英语：Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。^[1]

在有理数集下的证明

先设 $y=0\$ ，得到：

f(x+0)=f(x)+f(0)\

f(0)=0\

再设 $y=-x\$ ：

f(x-x)=f(x)+f(-x)\

f(-x)=-f(x)\

反复设 $y=x\$ 、 $y=2x\$ 、...、 $y=x+x+\cdots +x$ ，可以得到

f(mx)=mf(x)\

...(1)

设 $x={\frac {y}{n}}$ 并代入(1)式得到：

f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\

或者

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\

...(2)

对于任意有理数 ${\frac {m}{n}}$ ，设 $y={\frac {m}{n}}x$ ，根据(1)、(2)两式可知：

f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\

上式又可改写为

f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \

令 $\alpha =1\$ 就可以得到在有理数下的唯一解。

其他解的性质

以下的证明将显示（若存在）线性函数以外的解，该解是相当病态的函数。我们将证明这个函数f所对应的图形 $y=f(x)\$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中稠密，亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点，我们将从这个定义著手证明。

不失一般性，假设解f满足 $f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q}$ ，且能找到实数 $\alpha \in \mathbb {R}$ 满足 $f(\alpha )\neq \alpha$ ，同时设 $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$

任意给定一个圆，其内部必能找到一个小圆以点 $(x,y)$ 为圆心，其中满足 $x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y$ 。令实数 $r>0$ 为半径的 ${\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}}$ 倍，即半径为 ${\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}}$ 。

令 $\beta ={\frac {y-x}{\delta }}$ ，存在一个有理数 $b\neq 0$ 满足：

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}

类似地，存在一个有理数 $a$ 使得：

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}

设实数X,Y满足：

X=x+b(\alpha -a)\

Y=f(X)\

从原方程和以上的关系式可以得知：

Y=f(x+b(\alpha -a))\

=f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\

=x+bf(\alpha )-bf(a)\

=(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\

由以上关系式可知 $\left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r$

∴ $(X,Y)\$ 在指定的小圆内，

于是 $(X,Y)\$ 在原本较大的圆内；

即在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中任意给定的圆内皆包含 $y=f(x)\$ 图形的一点；

即 $y=f(x)\$ 的图形在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中稠密，得证。

另一方法：如f 不是线性函数，存在 $U=(u,f(u)),V=(v,f(v))$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 独立。任取 $X\in \mathbb {R} ^{2}$ , $X=\alpha U+\beta V$ , $\alpha$ 和 $\beta$ 是有理数序列的极限, $X$ 是f 的图形的聚点。

其他解的形式与证明

与有理数的情形使用相同的方式，可以证明线性解的证明在任意的集合 $\alpha \mathbb {Q}$ 上也成立，其中 $\alpha \in \mathbb {R}$ （表示所有有理数乘上 $\alpha \$ 的积的集合，以下亦同）
我们可以透过这点找出函数方程的所有解。但这个方式极度地不可构造，而且是以选择公理为基础得到的。

在承认选择公理的前提下，在 $\mathbb {Q}$ 上存在一个 $\mathbb {R}$ 的基底，也就是这样的集合： $A\subset \mathbb {R}$ ，使得对于任何实数 $x\$ ，存在唯一的有限集合 $\left\{a_{1},\dots ,a_{n}\right\}\subset A$ 以及唯一对应的 $n$ 个有理数 $\left\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right\}$ ，满足：