梯度下降法

梯度下降法(英语:Gradient descent)是一个一阶最优化算法,通常也称为最陡下降法,但是不该与近似积分的最陡下降法(英语:Method of steepest descent)混淆。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值,必须向函数上当前点对应梯度(或者是近似梯度)的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索,则会接近函数的局部极大值点;这个过程则被称为梯度上升法

描述

 
梯度下降法的描述。

梯度下降方法基于以下的观察:如果实值函数 在点 可微且有定义,那么函数  点沿着梯度相反的方向   下降最多。

因而,如果

 

对于一个足够小数值 时成立,那么 

考虑到这一点,我们可以从函数 的局部极小值的初始估计 出发,并考虑如下序列  使得

 

因此可得到

 

如果顺利的话序列 收敛到期望的局部极小值。注意每次迭代步长 可以改变。

右侧的图片示例了这一过程,这里假设 定义在平面上,并且函数图像是一个形。蓝色的曲线是等高线水平集),即函数 为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。(一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直)。沿着梯度下降方向,将最终到达碗底,即函数 局部极小值的点。

例子

梯度下降法处理一些复杂的非线性函数会出现问题,例如Rosenbrock函数

 

其最小值在 处,数值为 。但是此函数具有狭窄弯曲的山谷,最小值 就在这些山谷之中,并且谷底很平。优化过程是之字形的向极小值点靠近,速度非常缓慢。

 

下面这个例子也鲜明的示例了"之字"的上升(非下降),这个例子用梯度上升(非梯度下降)法求 局部极大值(非局部极小值)。

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缺点

梯度下降法的缺点包括:[1]

  • 靠近局部极小值时速度减慢。
  • 直线搜索可能会产生一些问题。
  • 可能会“之字型”地下降。

上述例子也已体现出了这些缺点。

参阅

参考文献

  1. ^ David W. A. Bourne. Steepest Descent Method. (原始内容存档于2009年2月10日) (英语). 
  • Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
  • Jan A. Snyman (2005). Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. Springer Publishing. ISBN 0-387-24348-8

外部链接