杨-米尔斯存在性与质量间隙

杨－米尔斯规范场论与质量间隙是理论物理中规范场论的一道基础问题，必须在数学上严格证明杨－米尔斯场论存在（即需符合构造性量子场论的标准），亦要证明它们有质量间隙，即模型所预测的最轻单粒子态为正质量。2000年，克雷数学研究所悬赏各一百万元的数学七大千禧年难题，其中一道题为杨－米尔斯规范场论同质量间隙。

背景

杨振宁

在物理学中，杨-米尔斯理论是一种基于非阿贝尔群的量子规范理论。20世纪初，物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合。在这一方向上，最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子电动力学，简称QED，它提供了对电磁现象的量子描述，成为麦克斯韦理论的一个量子版本，能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然的，物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力和强力一道统一起来。

1954年杨振宁和罗伯特·米尔斯提出了杨-米尔斯理论，它是对QED的进一步推广。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时，物理学家发现这一理论的“无质量性”成为症结所在。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足“质量间隙”这一特征，其官方表述为：对任意紧致、单的规范群，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙。质量间隙问题是量子色动力学理解强相互作用的理论关键，关乎理论物理学的数学基础，其解决将意味著一个数学上完整的量子规范场论的产生。

这一问题的解决前景不甚乐观，爱德华·威滕也直言“（它）对现在而言实在是太难了。”物理学家普遍相信质量间隙的存在，但至今未能找到确凿的数学和物理学证明。

杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲和爱德华·威滕写出。

目前所知多数非凡（nontrivial）──即有相互作用──的4维量子场论皆为有截断能标的有效场论。因多数模型的beta-函数是正的，似乎大多数这类模型皆有一支朗道极点，因完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。故此，若每一scale上皆定义有这样的量子场论，它只可能为单纯的自由场论。

然而，有不可交换结构群的杨-米尔斯理论（无夸克）例外。它有一种性质称为渐近自由，指它有一平凡（trivial）的紫外定点。因此，可以寄望它成为非凡的构造性（constructive）四维量子场模型。

非交换群杨-米尔斯理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明，但未有符合数理物理严谨性的证明。基本上，换言之，过了QCD尺度（或者这里应称为禁闭尺度，因为无夸克），那些色荷粒子被色动力学的“流管”连著，所以粒子间有线性势（“弦”张力x长度）。所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应，应见到零质量的胶子；但因它们被禁闭，只见到不带色荷的胶子束绑态——胶波。凡胶波皆有质量，所以期望质量间隙的存在。

格点规范场论的结果令不少工作者相信，这个模型真的有禁闭现象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“面积规律”(area law)看出），但这项结果还没有符合数学的严慬性。

参见

• 特殊酉群
• 规范场论
• 量子电动力学
• 量子色动力学
• 电弱相互作用
• 瞬子
• 陈-西蒙斯理论
• 手征对称性破缺
• 夸克禁闭
• 渐近自由
• 1/N展开