欧拉准则

数论中,二次剩余欧拉判别法(又称欧拉准则)是用来判定给定的整数是否是一个质数二次剩余

叙述

 是奇质数 不能整除 ,则:

 是模 的二次剩余当且仅当
 
 是模 的非二次剩余当且仅当:
 

勒让德符号表示,即为:  

举例

例子一:对于给定数,寻找其为二次剩余的模数

 。对于怎样的质数 ,17是模 的二次剩余呢?

根据判别法里给出的准则,我们可以从小的质数开始检验。

首先测试 。我们有: ,因此17不是模3的二次剩余。

再来测试 。我们有: ,因此17是模13的二次剩余。实际上我们有: ,而 .

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去,可以得到:

对于质数 (也就是说17是模这些质数的二次剩余)。
对于质数 (也就是说17是模这些质数的二次非剩余)。

例子二:对指定的质数p,寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余?

我们可以手工计算:

 
 
 
 
 
 
 
 

于是得到:所有模17的二次剩余的集合是 。要注意的是我们只需要算到8,因为 ,9的平方与8的平方模17是同余的: .(同理不需计算比9大的数)。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余,就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余,只需要计算 ,然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关,并且在定义欧拉-雅可比伪素数(见伪素数)时会用到。

证明

首先,由于 是一个奇素数,由费马小定理 。但是 是一个偶数,所以有

 

 是一个素数,所以  中必有一个是 的倍数。因此  的余数必然是1或-1。

  • 证明若 是模 的二次剩馀,则 

 是模 的二次剩馀,则存在   互质。根据费马小定理得:

 
  • 证明若 ,则 是模 的二次剩馀

 是一个奇素数,所以关于 原根存在。设  的一个原根,则存在 使得 。于是

 

  的一个原根,因此  的指数是 ,于是 整除 。这说明 是一个偶数。令 ,就有  是模 的二次剩余。

参考资料

外部链接