正4294967295边形

正4294967295边形是目前已知最大奇数的可作图多边形。其内角和角度为773,094,112,740度，对角线则有9,223,372,026,117,357,570条。

正四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形
类型	正多边形
对偶	正四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形（本身）
边	4294967295
顶点	4294967295
对角线	9223372026117357570
施莱夫利符号	{4294967295}
考克斯特符号
对称群	二面体群 (D4294967295), order 2×4294967295
面积	${\frac {4294967295}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{4294967295}}$ $\approx 1467945250957485488.60175a^{2}$
内角（度）	${\frac {773094112740}{4294967295}}^{\circ }=\,$$179{\frac {4294966935}{4294967295}}$ o 179.99999991618°
内角和	773094112740°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形

特别地，正4294967295边形可以尺规作图（仅用直尺和圆规来作图）来完成。可以用尺规作图的多边形有无数个，只要是某些奇数的2次方倍的边数的多边形都可以尺规作图，然而奇数边数多边形已知能够尺规作图的边数只有31个，而正4294967295边形的边数是这些多边形当中最大的边数。这31个奇数边数可以可作图多边形的边数为3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295（OEIS数列A045544）。

性质

正4294967295边形的边数非常的多，几乎无法使其和一个正圆形区分开来。正4294967295边形的中心角的角度非常小，只有：

${\frac {360^{\circ }}{4294967295}}\approx 8.389\times 10^{-8\ \circ }\approx 0.0003''$

半径为1的圆内接正4294967295边形面积为：

${\frac {4294967295}{2}}\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx 3.141592653589793237$

其与圆的面积非常接近，这个数值也与圆周率非常接近，其中的17个位数完全与圆周率相同。其一个边的边长为：

$2\sin {\frac {\pi }{4294967295}}\approx 1.462918\times 10^{-9}$

这个多边形几乎无法和圆形区分开来。举例来说，半径为1000千米的圆内接正4294967295边形，其边长略低于1.5毫米。 此外，假设地球是一个半径为6378千米的完美球体，并考虑内接于大圆（例如赤道）的正4294967295边形，则其边长略低于1厘米。

可作图性

4294967295是

$2^{2^{5}}-1$

它的素数分解是

$3\times 5\times 17\times 257\times 65537$

是所有已知费马素数的乘积。卡尔·弗里德里希·高斯证明了正n边形可作图的充分必要条件是n是相异费马素数的乘积与2的幂的乘积，即：

$n=2^{m}F_{a}F_{b}\cdots F_{c}\quad$（$F_{a},F_{b},\cdots ,F_{c}$为相异费马素数，$m$为非负整数）

因此，如果不存在大于65537的费马素数的猜想是正确的，那么正4294967295边形就是边数最多的可作图正奇数边数多边形。

参考书籍

• 美しくて感動する数の教室. PHP研究所. 2013: 133 [2022-07-10]. ISBN 978-4-5698-0969-4. （原始内容存档于2022-07-13）.