等化子

在数学的范畴论分支，若干个函数的等化子（英语：equaliser）是使其值相等的参数的集合。换言之，两个函数 $f,g$ 的等化子，是方程 $f(x)=g(x)$ 的解集（英语：solution set）。仅得两个函数时，也称为其差核，因为等于两个函数之差的核（英语：Kernel (category theory)）。

定义

设 $X$ 与 $Y$ 为集合。又设 $f,g$ 为从 $X$ 至 $Y$ 的函数。则 $f$ 与 $g$ 的等化子为 $X$ 中所有满足 $f(x)=g(x)$ 的元素 $x$ 的集合，以符号表示为：

\operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.

等化子可以表示成 $\mathrm {Eq} (f,g)$ 或类似的符号，如改成小楷 $\mathrm {eq}$ 。有时非正式地写成 $\{f=g\}$ 。

上述定义用到两个函数 $f,g$ ，但其实不必限制为两个函数，甚至不必为有限多个函数。一般而言，若 ${\mathcal {F}}$ 是一族函数，从 $X$ 映向 $Y$ ，则 ${\mathcal {F}}$ 的元素的等化子，是使 $f(x)$ 对所有 $f\in {\mathcal {F}}$ 皆相等的元素 $x\in X$ 的集合。以符号表示：

\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.

若 ${\mathcal {F}}$ 可以写成 $\{f,g,h,\ldots \}$ ，则等化子亦记为 $\mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )$ 。此情况下，亦可非正式地写成 $\{f=g=h=\cdots \}$ 。

作为一般定义的退化，考虑 ${\mathcal {F}}$ 为单元集 $\{f\}$ 。由于 $f(x)$ 必然等于自己，等化子等于整个定义域 $X$ 。更退化的情况下，设 ${\mathcal {F}}$ 为空集。则等化子仍为全个定义域 $X$ ，因为条件的全称量化命题为空真命题（英语：vacuously true）。

差核

二元的等化子（即两个函数的等化子）又称差核（英语：difference kernel）。 $f,g$ 的差核可以记为 $\mathrm {DiffKer} (f,g)$ 、 $\mathrm {Ker} (f,g)$ 、 $\mathrm {Ker} (f-g)$ 。最后一种写法表明名称的由来，是两个函数之差的核，而且抽象代数中，该写法亦最常用。此外，单一个函数 $f$ 的核，可以作为差核 $\mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})$ 找到，其中 ${\boldsymbol {0}}$ 表示取零值的常数函数。

以上假设核的意义如同抽象代数中，解作某函数作用下， $0$ 的原像，但在范畴论定义中，并不一定。

范畴论

等化子可以用泛性质定义，以将此概念从集合范畴推广到任意的范畴。

一般地，在任意范畴中，设 $X,Y$ 为物件，而 $f,g$ 为自 $X$ 往 $Y$ 的态射。此两件物件及两个态射组成该范畴的一幅图，而 $f,g$ 的等化子，则是该图表的极限。

具体而言，等化子是物件 $E$ 与态射 $\mathrm {eq} :E\to X$ 的整体，满足 $f\circ eq=g\circ eq$ ，且对任意物件 $O$ 与态射 $m:O\to X$ ，若有 $f\circ m=g\circ m$ ，则存在唯一的态射 $u:O\to E$ ，使得 $\mathrm {eq} \circ u=m$ 。

其中态射 $m:O\rightarrow X$ 满足的条件，即 $f\circ m=g\circ m$ ，又称为等化（英语：equalise） $f$ 与 $g$ 。^[1]

在泛代数范畴，例如有定义差核的范畴，或集合范畴 $\mathbf {Set}$ ，物件 $E$ 总可以按原始定义（即 $\{x:f(x)=g(x)\}$ ）选取，而相应的态射 $\mathrm {eq}$ 则是 $E$ 作为 $X$ 子集的包含映射。

可以直接推广到多于两支态射的情况，只要用在图中，添加更多支态射，然后再取极限便可。同样，只有一支态射的退化情况也很直接，而 $\mathrm {eq}$ 可以取为任何由 $E$ 至 $X$ 的同构。

但是，无态射的退化情况较为特殊，要较仔细画出正确的图。一开始，可能会尝试画出物件 $X$ 和 $Y$ ，然后不加任何态射。然而，此为不正确，因为该图的极限，是 $X$ 和 $Y$ 的范畴论积，而非所求的等化子（应为 $X$ ）。正确观念是，等化子的定义，与定义域 $X$ 密切相关（例如在集合范畴的情况下， $X$ 出现在定义式中），但与 $Y$ 的关联则仅在于 $Y$ 是图中态射的陪域。所以，若无态射，则 $Y$ 不必出现，故图仅有 $X$ 。此图的极限，是任何 $E$ 与 $X$ 间的同构。

可以证明，任意范畴中的等化子，皆为单态射。反之，若逆命题成立，即单态射皆为某两支态射的等化子，则该范畴（在单态射意义下）称为正则（英语：regular）。更一般地，任意范畴中，正则单态射是某族态射的等化子。也有作者更严格，要求其为某两个态射的二元等化子。然而，若所考虑的范畴完备（英语：complete category），则两种定义一致。

范畴论中，也有差核的概念。术语“差核”在范畴论各处也常用作描述二元等化子。预可加范畴中（于阿贝尔群范畴（英语：Category of abelian groups）上浓缩（英语：enriched category）的范畴，粗略而言，即每个态射集 $\mathrm {Hom} (A,B)$ 皆具阿贝尔群结构），“差核”一词能逐字理解，因为两支（相同端点的）态射之差有定义，即 $\mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)$ ，其中 $\mathrm {Ker}$ 表示范畴论核（英语：kernel (category theory)）。