约化质量

在牛顿力学里，约化质量（英语：reduced mass），也称作折合质量、减缩质量，是出现于二体问题的 “有效”惯性质量。这是一个因次为质量的物理量，使二体问题能够被变换为一体问题。

假设有两个物体，质量分别为 $m_{1}\!\,$ 与 $m_{2}\!\,$ ，环绕著两个物体的质心运行于各自的轨道。那么，等价的一体问题中，物体的质量就是约化质量 $\mu \!\,$ ，计算的方程式为

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\!\,$ 。

根据牛顿第二定律，物体 2 施于物体 1 的作用力为

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}\!\,$ 。

物体 1 施于物体 2 的作用力为

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}\!\,$ 。

依据牛顿第三定律，作用力与反作用力，大小相等，方向相反：

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\!\,$ 。

所以，

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\!\,$ 。

两个物体的相对加速度为

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=({1+{m_{1} \over m_{2}}})\mathbf {a} _{1}=({{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}})m_{1}\mathbf {a} _{1}={\cfrac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}\!\,$ 。

所以，物体 1 相对于物体 2 的运动，就好似一个质量为约化质量的物体的运动。

• 约化质量通常用希腊字母 $\mu \!\,$ 来标记。
• 这两个物体中，任何一个物体的质量，都大于约化质量。
• 假若物体 1 的质量超大于物体 2 的质量， $m_{1}\gg m_{2}\!\,$ ，则可以取物体 2 的质量为约化质量的近似值：$m_{2}\approx \mu \!\,$ ；也可以视物体 1 为固定的，只有物体 2 在移动。

参阅

• 克卜勒定律
• 三体问题