群速度

波的群速度（group velocity），或简称群速，是指波振幅外形上的变化（称为波的“调变”或“波包”）在空间中所传递的速度。想象一下我们将一块石头投入一个平静的池塘中激起一个波浪，随即变成一个中心平静呈环形扩展的波环。这个正在扩展的波环为一组由不同传播速度的独立子波组成。波长较长的子波传播速度较快并消失在整组波的前缘。波长较短传播较慢的波随着整组波内缘的推进而消失。

此图示为深水表面的波的传递模式。红色点点以相速度运动，绿色点点以群速度运动。在这个例子中，红点从左向右运动的过程中两次跨过绿点，相速约略为群速的两倍。
新的波看起来像是从一个波群的末尾处开始生成，振幅逐渐增大直至到达波群中间，然后再消失于波的前端。
对于水表面的重力波，大多数情况下群速度远小于相速度。

实线是波包，虚线是波包的包络。当波包传播于空间时，包络是群速度。

定义和解释

定义

群速度通过下列方程式定义：

$v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}$

其中，

v_g是群速度

ω是波的角频率

k是波数或波向量。

函数ω(k)将ω设为k的函数，被称为色散关系。

• 如果ω正比于k，则群速度恰等于相速度，波形在传播过程中不会被扭曲。
• 如果ω与k呈线性关系，而不是正比关系（ω=ak+b），此时群速度和相速度不同。波包以群速度传播，但波包里的峰和谷以相速度传播。
• 如果ω与k不是呈线性关系，波包不是以单一速度传播，在行进中将会逐渐扭曲，这种扭曲与群速度有关。这样的“群速度色散”在光纤中讯号的传递，以及短脉冲雷射的设计两个课题上是个重要的效应。

物理意义

群速度常被认为是能量或信息顺著波动传播的速度。多数情况下这是正确的，也因此群速度可被视为波形所带有的讯号速度。然而，如果波行经过吸收性介质（absorptive medium），这种情况就不一定成立。举例而言，可以设计实验将雷射光脉冲送过特殊准备的物质，使得其群速度大大地超过真空中光速。然而讯号速度总是低于或等于光速，因此超光速通信是不可能。此外也可以将群速度减少到零，将脉冲停住，或者是得到负值的群速度，因为脉冲是以相反方向行进。

群速度与相速度方向相反的例子：图中群速度方向自左至右，相速度方向自右至左

群速度迥异于相速度的概念是首先由哈密顿于1839年提出，这方面完整的处理则出现在瑞利勋爵（Lord Rayleigh）的1877年的著作《声理论》（Theory of Sound）中。

物质波群速度

爱因斯坦于1905年首先解释光的波粒二象性。路易·德布罗意提出德布罗意假说指出任何粒子都应该表现出这样的二元性。在他的看法，粒子的速度应该永远等于相对应物质波的群速度。德布罗意想到：若为世所知的光的二元性方程式和其他粒子会是一样的，则他的假说会成立。这表示：

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}$

其中$E$是粒子总能，p是粒子动量，以及$\hbar$是约化普朗克常数。利用狭义相对论，我们会发现：

$v_{g}={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma mvc^{2}}{\sqrt {{\gamma }^{2}m^{2}v^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma vc}{\sqrt {{\gamma }^{2}v^{2}+c^{2}}}}=v$

其中m是静质量，c是真空中光速，以及$\gamma$是劳仑兹因子。变数v是不考虑波动行为的粒子速度。量子力学很精准地证实了这项假说，而且这项关系已经在粒子被明显展示，粒子大小甚至可以大到如一些分子。

相关条目

• 色散
• 慢光

参考文献

• 莱昂·布里渊《波传递与群速度》（Wave Propagation and Group Velocity）Academic Press Inc., New York（1960年）ISBN 0-1213-4968-3
• Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.

外部链接

• （英文）Greg Egan提供了一个Java applet，见这个网址，说明群速度与相速度的显著差异。
• （英文）Group and Phase Velocity （页面存档备份，存于互联网档案馆） - Java applet，有可随使用者调整的群速度与频率。