莱维过程

莱维过程（Lévy process）源于法国数学家保罗·皮埃尔·莱维，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续（Càdlàg）的随机过程。著名的例子有维纳过程和泊松过程。

定义

一个随机过程$X=\{X_{t}:t\geq 0\}$是一个莱维过程如果符合以下条件：

1. $X_{0}=0\,$ 几乎确定。
2. 独立增量：对任何$0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty$, $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$相互独立。
3. 稳定增量：对任何$s<t\,$, $X_{t}-X_{s}\,$与$X_{t-s}\,$有相同分布
4. $t\mapsto X_{t}$ is 几乎确定右连左极.

性质

独立增量

设X_t是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的t ≥ 0，X_t是一个随机变量。过程的增量为差值X_s − X_t（任意的时间t < s）。 独立增量意味着对于任何时间s > t > u > v，X_s − X_t和X_u − X_v相独立。

稳定增量

如果增量X_s − X_t的分布只依赖于时间间隔s − t，则称增量是稳定的。

例如，对于维纳过程，增量X_s − X_t服从均值为0，方差为s − t的正态分布。

对于泊松过程，增量X_s − X_t服从指数为s − t的泊松分布

可分性

莱维过程与无限可分分布有关：

• 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，X_t的分布可以表示为n个与X_t/n同分布的随机变量的和的分布。
• 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

矩

当莱维过程的n阶矩$\mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})$存在有限时， 它满足二项式等式：

$\mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).$

例子

维纳过程

定义
X为维纳过程（或者标准布朗运动） 当且仅当

1. 对任何$\scriptstyle t\geq 0$， 随机变量$X_{t}$服从正态分布$\scriptstyle {\mathcal {N}}(0,t)$,
2. 它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件$\scriptstyle \omega$，关于t的函数$\scriptstyle \omega \mapsto X_{t}(\omega )$是连续的。

性质

• 它的傅立叶变换为：

$\mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-{\frac {1}{2}}t\theta ^{2}\right)$

其他性质可参考词条布朗运动。

复合泊松过程

定义
X为一个实参数为$\scriptstyle c\geq 0$，测度为$\scriptstyle \nu$ 复合泊松过程当且仅当它的傅立叶变换为：

$\mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(ct\left(\int _{\mathbb {R} }e^{i\theta x}\nu (dx)-1\right)\right)$.

性质

• 参数为 $\scriptstyle c\geq 0$，测度为Dirac测度$\scriptstyle \nu =\delta _{1}$的复合泊松过程为泊松过程.
• 设N为参数为$\scriptstyle c\geq 0$的泊松过程，$\scriptstyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}Y_{k}$为一个随机游走（$\scriptstyle Y_{1}$的分布为$\scriptstyle \nu$），那么$\scriptstyle X_{t}=S_{N_{t}}$为一个复合泊松过程。

参阅

• 独立同分布
• 维纳过程
• 泊松过程
• 马尔可夫链

参考来源

翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999