超越函数

数学领域超越函数代数函数相反,是指那些不满足任何以多项式方程函数,即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说,超越函数就是“超出”代数函数范围的函数,也就是说函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。

严格的说,关于变量解析函数是超越函数,如果该函数是关于变量代数独立的。

对数指数函数即为超越函数的例子,超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数,例如正弦馀弦正割余割正切余切等。

非超越函数称为代数函数,代数函数的例子有多项式平方根函数。

对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数,如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中,对倒数函数不定积分得到的,以此方式得到的双曲函数等皆为超越函数。

微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数,例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

因次分析

因次分析里,超越函数是非常有用的,因为它们只在其引数无因次时才有意义。因此,超越函数可以是因次错误的显著来源。例如, 是个毫无意义的表示式。 不同于  ,后两者是有实际意义的。利用对数恒等式,将 展开为 能够更清晰的说明该问题:一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果。

一些例子

以下列出的函数都是超越函数:除了少数特殊的情况,对于一般的 不能通过有限次代数运算求出 

 
 
 
 
 

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