量子数描述量子系统中动力学上各守恒数的值。它们通常按性质描述原子电子的各能量,但也会描述其他物理量(如角动量自旋等)。由于任何量子系统都能有一个或以上的量子数,列出所有可能的量子数是件没有意义的工作,学习量子数与轨域也是。

有多少个量子数?

“要多少个量子数才能描述任何已知系统?”这道问题并没有一致的答案,尽管要解决每一个系统都必须要对系统进行全面分析。任何系统的动力学都由一量子哈密顿算符H,所描述。系统中有一量子数对应能量,即哈密顿算符的特征值。对每一个算符O而言,还有一个量子数可与哈密顿算符交换(即满足OH = HO这条关系式)。这些是一个系统中所能有的所有量子数。注意定义量子数的算符O应互相独立。很多时候,能有好几种选择一组互相独立算符的方法。故此,在不同的条件下,可使用不同的量子数组来描述同一个系统。

原子内的单个电子

最被广为研究的量子数组是用于一原子的单个电子:不只是因为它在化学中有用(它是周期表化合价及其他一系列特性的基本概念),还因为它是一个可解的真实问题,故广为教科书所采用。

在非相对论性量子力学中,这个系统的哈密顿算符由电子的动能势能(由电子及原子核间的库仑力所产生)。动能可被分成,有环绕原子核的电子角动量J的一份,及馀下的一份。由于势能是球状对称的关系,其完整的哈密顿算符能与J2交换。而J2本身能与角动量的任一分量(按惯例使用Jz)交换。由于这是本题中唯一的一组可交换算符,所以会有三个量子数。

依惯例,它们被称为:

  • 主量子数 ,即电子轨域 )代表除掉J2以后H的特征值。这个数因此会视电子与原子核间的距离(即半径座标r)而定。平均距离会随着n增大,因此不同量子数的量子态会被说成属于不同的电子层。
  • 角量子数 ,又称方位角量子数轨道量子数)通过关系式 来代表轨道角动量。在化学中,这个量子数是非常重要的,因为它表明了一轨道的形状,并对化学键键角有重大影响。有些时候,不同角量子数的轨域有不同代号, 的轨域叫s轨域, 的叫p轨域, 的叫d轨域,而 的则叫f轨域。
  • 磁量子数 )代表特征值 [1]。这是轨道角动量沿某指定轴的投影。

光谱学中所得的结果指出一个轨道最多可容纳两个电子。然而两个电子绝不能拥有完全相同的量子态(泡利不相容原理),故也绝不能拥有同一组量子数。所以为此特别提出一个假设来解决这问题,就是设存在一个有两个可能值的第四个量子数。这假设以后能被相对论性量子力学所解释。

  • 自旋量子数 )代表电子的固有角动量。这是自旋 沿某指定轴的射影。

作为摘要,一电子的量子态视下列各量子数而定:

名称 符号 轨道意义 取值范围 取值例子
主量子数   壳层    
角量子数(角动量   次壳层    :
 
磁量子数(角动量之射影)   能移    :
 
自旋量子数   自旋   只能是 

例:用于描述 )原子最外层电子(即价电子,位于原子轨道2p)的各量子数值为:    

简而言之,以上的物理量需要满足  

注意分子轨道需要使用完全不同的量子数组,因为其哈密顿算符及对称跟上述相当不同。

适用于自旋-轨道交互作用的量子数

当考虑到自旋-轨道作用时,l、m及s就再不能与哈密顿算符交换,因而它们的值会随时间改变。故应该使用另一组量子数。这组包括了

  • 总角动量量子数(j=1/2,3/2 … n-1/2)通过关系式 代表着总角动量
  • 总角动量沿某指定轴的投影(mj=-j,-j+1 … j-1,j),此数与m类似,且满足关系式 
  • 宇称。它是经反射所得的特征值,当态之l为偶数时其值为正(即+1),奇数时其值为负(即-1)。前者亦被称为偶宇称,后者则为奇宇称

例:考虑以下八个态,定义它们的量子数:

  1. l = 1,ml = 1,ms = +1/2
  2. l = 1,ml = 1,ms = -1/2
  3. l = 1,ml = 0,ms = +1/2
  4. l = 1,ml = 0,ms = -1/2
  5. l = 1,ml = -1,ms = +1/2
  6. l = 1,ml = -1,ms = -1/2
  7. l = 0,ml = 0,ms = +1/2
  8. l = 0,ml = 0,ms = -1/2

系统的量子态能被这八个态的线性组合所描述。但由于自旋-轨道作用的关系,如欲使用八个由哈密顿算符特征向量(即每一个代表一个态且不会因时间而跟其他态混合)所组成的态来描述同一个系统,应考虑以下这八个态:

  1. j = 3/2, mj = 3/2,奇宇称 (从上态1得)
  2. j = 3/2, mj = 1/2,奇宇称 (从上态2及3得)
  3. j = 3/2, mj = -1/2,奇宇称 (从上态4及5得)
  4. j = 3/2, mj = -3/2,奇宇称 (从上态6得)
  5. j = 1/2, mj = 1/2,奇宇称 (从上态2及3得)
  6. j = 1/2, mj = -1/2,奇宇称 (从上态4及5得)
  7. j = 1/2, mj = 1/2,偶宇称 (从上态7得)
  8. j = 1/2, mj = -1/2,偶宇称 (从上态8得)

基本粒子

基本粒子包含不少量子数,一般来说它们都是粒子本身的。但需要明白的是,基本粒子是粒子物理学标准模型的量子态,所以这些粒子量子数间的关系跟模型的哈密顿算符一样,就像波耳原子量子数及其哈密顿算符的关系那样。亦即是说,每一个量子数代表问题的一个对称性。这在场论中有着更大的用处,被用于识别时空对称。

一般跟时空对称有关系的量子数有自旋(跟旋转对称有关)、宇称C-宇称T-宇称(跟时空上的庞加莱对称有关系)。一般的内对称有轻子数重子数电荷数。条目有这些量子数的更详细列表。

值得一提的是较次要但常被混淆的一点。大部分守恒量子数都是可相加的。故此,在一基本粒子反应中,反应前后的量子数总和应相等。然而,某些量子数(一般被称为宇称)是可相乘的;即它们的积是守恒的。所以可相乘的量子数都属于一种对称(像守恒那样),而在这种对称中使用两次对称变换式跟没用过是一样的。它们都属于一个叫Z2的抽象

参考连结

  1. ^ Arthur Beiser, Kok Wai Cheah. Concepts of modern physics. 麦格罗-希尔集团. 2015: 第229页. ISBN 9789814595261. 

基本原理

原子物理

粒子物理