量子谐振子

在量子力学里，量子谐振子（英语：quantum harmonic oscillator）是古典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。

一维谐振子

哈密顿算符与能量本征态

能量最低的八个束缚本征态的波函数表征（n = 0到7）。横轴表示位置x。此图未经归一化。

在一维谐振子问题中，一个质量为m的粒子，受到一位势$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$。此粒子的哈密顿算符为

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

其中x为位置算符，而p为动量算符$\left(p=-i\hbar {d \over dx}\right)$。第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，必须解所谓的“定态薛丁格方程式”：

$H\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$.

在座标基底下可以解这个微分方程式，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：

$\left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

$n=0,1,2,\ldots$

前8个解（n = 0到7）如右图。函数$H_{n}$为埃尔米特多项式：

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

注意到不应将之与哈密顿算符搞混，尽管哈密顿算符也标作H。相应的能阶为

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$。

束缚本征态之机率密度|ψ_n(x)|²，从最底部的基态（n = 0）开始，往上能量逐渐增加。横轴表示位置x，而较亮的色彩代表较高的机率密度。

值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有离散的值——即$\hbar \omega$乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的“阶梯算符”段落，将对此现象做更详细的检视。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是$\hbar \omega /2$，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”（null oscillations）且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子重力。最后一个理由为能阶值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子问题那样。

注意到基态的机率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时，机率密度变成集中在“古典转向点”（classical turning points），其中状态能量等同于势能。这样的结果与古典谐振子相一致；古典的描述下，粒子多数时间处在（而更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。

阶梯算符方法

前述的幂级数解虽然直观，但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克，允许抽像求得能量本征值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推广到更复杂的问题，尤其是在量子场论中。跟从此方法，定义算符a与其伴随算符（adjoint）a^†：

${\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}$

算符a并非厄米算符（Hermitian），因其与伴随算符a^†并不相同。

算符a与a^†有如下性质：

${\begin{matrix}a\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n}}\left|\phi _{n-1}\right\rangle \\a^{\dagger }\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n+1}}\left|\phi _{n+1}\right\rangle \end{matrix}}$

在推导a^†形式的过程中，已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：

${\begin{matrix}x&=&{\sqrt {\hbar \over 2m\omega }}\left(a^{\dagger }+a\right)\\p&=&i{\sqrt {{\hbar }m\omega \over 2}}\left(a^{\dagger }-a\right)\end{matrix}}$

x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：

$\left[x,p\right]=i\hbar$.

方程式中的方括号是常用的标记机器，称为交换子、交换算符或对易算符，其定义为

$\left[A,B\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AB-BA$.

利用上面关系，可以证明如下等式：

$H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+1/2\right)$

$\left[a,a^{\dagger }\right]=1$.

现在，让$\left|\psi _{E}\right\rangle$代表带有能量E的能量本征态。任何右括向量（ket）与自身的内积必须是非负值，因此

$\left(a\left|\psi _{E}\right\rangle ,a\left|\psi _{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi _{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi _{E}\right\rangle \geq 0$。

将a^†a以哈密顿算符表示：

$\left\langle \psi _{E}\right|{H \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\left|\psi _{E}\right\rangle =\left({E \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\right)\geq 0$，

因此$E\geq \hbar \omega /2$。注意到当（$a\left|\psi _{E}\right\rangle$）为零右括向量（亦即：长度为零的右括向量），则不等式饱和而$E=\hbar \omega /2$。很直观地，可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态（n = 0）。

利用上面等式，可以指出a及a^†与H的对易关系：

${\begin{matrix}\left[H,a\right]&=&-\hbar \omega a\\\left[H,a^{\dagger }\right]&=&\hbar \omega a^{\dagger }\end{matrix}}$.

因此要是（$a\left|\psi _{E}\right\rangle$）并非零右括向量，

${\begin{matrix}H(a\left|\psi _{E}\right\rangle )&=&(\left[H,a\right]+aH)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi _{E}\right\rangle )\end{matrix}}$.

类似地，也可以指出

$H(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )=(E+\hbar \omega )(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )$.

换句话说，a作用在能量为E的本征态，而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为 $E-\hbar \omega$的本征态，而a^†作用在能量为E的本征态，产生出另一个能量为$E+\hbar \omega$的本征态。因为这样，a称作降算符而a^†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中，a与a^†也分别称作消灭算符与创生算符，以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。

给定任何能量本征态，可以拿降算符a作用在其上，产生了另一个能量少了$\hbar \omega$的本征态。重复使用降算符，似乎可以产生能量本征态其能量低到E = −∞。不过这样就就与早先的要求$E\geq \hbar \omega /2$相违背。因此，必须有一最底的能量本征态——基态，标示作$\left|0\right\rangle$（勿与零右括向量混淆），使得

$a\left|0\right\rangle =0$（即a对$\left|0\right\rangle$作用后产生零右括向量（zero ket））。

在这情况下，继续使用降算符只会产生零右括向量，而不是产生额外的能量本征态。此外，还指出了

$H\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle$。

最后，透过将升算符作用在$\left|0\right\rangle$上，并且乘上适当的归一化因子，可以产生出一个能量本征态的无限集合$\left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,...,\left|n\right\rangle ,...\right\}$使得

$H\left|n\right\rangle =\hbar \omega (n+1/2)\left|n\right\rangle$，这与前段所给的能谱相符合。

这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态，$a\left|0\right\rangle =0$变为

$x\psi _{0}(x)+{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d\psi _{0}(x)}{dx}}=0$。

所以，

${\frac {d\ln \psi _{0}(x)}{dx}}=-{\frac {\hslash }{m\omega }}x+{\text{ Constant}}$。

这个方程式的解为，经过归一化，

$\psi _{0}(x)=\left({m\omega \over \pi \hbar }\right)^{1 \over 4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }$。

自然长度与能量尺度

量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简化问题。这可以透过无因次化来得到。结果是如果以$\hbar \omega$为单位来测量能量，以及$\left(\hbar /\left(m\omega \right)\right)^{1/2}$为单位来测量距离，则薛丁格方程式变成：

$H=-{1 \over 2}{d^{2} \over du^{2}}+{1 \over 2}u^{2}$，

且能量本征态与本征值变成

$\left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}\pi ^{-1/4}{\hbox{exp}}(-u^{2}/2)H_{n}(u)$

$E_{n}=n+{1 \over 2}$.

为了避免混淆，在此文中不采用这些自然单位。不过，这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。

案例：双原子分子

主条目：双原子分子

在双原子分子中，自然频率可以发现为[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）：

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m_{r}}}}$

其中

$\omega =2\pi f$为角频率，

k是共价键劲度系数

$m_{r}$是约化质量。

N维谐振子

一维谐振子很容易地推广到$N$维。在一维中，粒子的位置是由单一座标x来指定的。在$N$维中，这由$N$个位置座标所取代，以$x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}$标示。对应每个位置座标有个动量，标示为p₁, ..., p_N。这些算符之间的正则对易关系为

${\begin{matrix}\left[x_{i},p_{j}\right]&=&i\hbar \delta _{i,j}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=&0\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=&0\end{matrix}}$.

系统的哈密顿算符为

$H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right)$。

从这个哈密顿量的形式，可以发觉，$N$维谐振子明确地可比拟为$N$个质量相同，弹性常数相同，独立的一维谐振子。在这案例里，变数$x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}$是$N$个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性，允许位势被分离为$N$个项目，每一个项目只跟一个位置坐标有关。

这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数$\{n\}$，一个$N$维谐振子的能量本征函数$\langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle$等于$N$个一维本征函数$\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle$的乘积：

$\langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle$。

采用阶梯算符方法，定义$N$组阶梯算符，

$a_{i}={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right)$，

$a_{i}^{\dagger }={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right)$。

类似前面所述的一维谐振子案例，可以证明每一个$a_{i}$与$a_{i}^{\dagger }$算符将能量分别降低或升高$\hbar \omega$。哈密顿量是

$H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right)$。

这量子系统的能阶$E$是

$E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]$；

其中，正整数$n_{i}$是$|\psi _{n_{i}}\rangle$的量子数。

如同一维案例，能量是量子化的。$N$维基态能阶是一维基态能阶的$N$倍。只有一点不同，在一维案例里，每一个能阶对应于一个单独的量子态。在$N$维案例里，除了底态能阶以外，每一个能阶都是简并的，都对应于多个量子态。

简并度可以很容易地计算出来。例如，思考三维案例，设定$n=n_{1}+n_{2}+n_{3}$。每一个$n$相同的量子态，都会拥有相同的能量。给予$n$，首先选择一个$n_{1}$。那么，$n_{2}+n_{3}=n-n_{1}$，有$n-n_{1}+1$个值，从$0$到$n-n_{1}$，可以选择为$n_{2}$的值。$n_{3}$的值自动的设定为$n-n_{1}-n_{2}$。因此，简并度是

$d_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$。

对于$N$维案例，

$d_{n}={\binom {N+n-1}{n}}$。

案例：三维均向谐振子

参阅三维均向谐振子

球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法，只有球对称位势不一样：

$V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}$；

其中，$\mu$是这问题的质量。由于$m$会被用来标记磁量子数，所以，用$\mu$来标记质量。

这问题的薛丁格方程式为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +{1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}\psi =E\psi$。

薛丁格方程式的全部解答写为

$\psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}{L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )$；

其中，

$N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}$是归一常数，

$\nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }$

${L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})$是$k$阶广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials)，$k$是个正整数，

$Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$是球谐函数，

$\hbar$是约化普朗克常数。

能量本征值是

$E=\hbar \omega (2k+l+{3 \over 2})$。

能量通常可以用一个量子数$n$来描述：

$n\equiv 2k+l$。

由于$k$是个正整数，假若$n$是偶数，那么，角量子数也是偶数：

$l=0,\,2,\,\dots ,\,n-2,\,n$；

假若$n$是奇数，那么，角量子数也是奇数：

$l=1,\,3,\,\dots ,\,n-2,\,n$。

磁量子数$m$满足不等式

$-l\leq m\leq l$。

对于每一个$n$与$l$，存在$2l+1$个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数$m$。因此，$n$的兼并度是

$\sum _{l=i,\,i+2,\,\ldots ,\,n-2,\,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}$；

其中，总和的指数$l$的初始值是$i=n\ mod\ 2$。

这结果与先前的方程式相同。

耦合谐振子

两个质点的耦合谐振子

设想$N$个相同质量的质点，以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为$x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}$（也就是说，假若一个质点$k$位于其平衡点，则$x_{k}=0$）。整个系统的哈密顿量是

$H=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{1\leq i\leq N}(x_{i}-x_{i-1})^{2}$；

其中，$x_{0}=0$。

这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子，每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质，称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固态物理学里，这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。

参阅

• 自由粒子
• 无限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位势垒
• 球对称位势
• Delta位势垒
• 真空灾变
• 盎鲁效应

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8. 

外部链接

• 国立交通大学物理系视听教学：量子谐振子
• 乔治亚州州立大学（Georgia State University）线上物理网页：量子谐振子 （页面存档备份，存于互联网档案馆）