韦达跳跃

韦达跳越（英语：Vieta jumping）是一个处理数论的证明技巧。通常是藉韦达定理，来对根进行无穷递降法。

历史

韦达跳越在国际奥林匹克数学竞赛（IMO）里是一个相对较新的数论解题技巧，在1988年IMO第一次出了这类的题目，且被认为是当年最难的题目。Arthur Engel 曾写了关于这问题的一段描述：

六名澳洲解题委员会委员没有一人在六小时时限内解出。其中有两名是塞凯赖什·哲尔吉和他老婆，都是有名的解题者和出题者。另外四名是澳洲数论学家。这题被他们标记上双重星号，意味著这题是极难的。经过一长时间的讨论，评审委员仍将他列在该年的最后一题。十一名学生给出了完美的解答。

在十一名学生中，有一名即为知名的菲尔兹奖得主吴宝珠。

标准型韦达跳跃

标准型韦达跳跃的中心概念是反证法，由下列步骤所组成：

1. 假设存在一个不符合题意的解。
2. 借由此解制造出的最小解$(x,y)$，我们可以找到一个更小的解，但这和最小解$(x,y)$是相违背的。

注：$(x,y)$的"最小"由一个函数$f(x,y)$给出，通常可令$f(x,y)=x+y$。

范例

1988 IMO #6

$a$和$b$是正整数，且$ab+1$整除$a^{2}+b^{2}$。试证${\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$为完全平方数。

1. 令k = a² + b²/ab + 1。我们假设在满足题目的条件下，存在一个或更多不是完全平方数的解k。
2. 对特定k，使(A, B)为其对应解中A + B最小的，不失一般性可假设A ≥ B。用变数x取代A，重整方程式可得x² – (kB)x + (B² – k) = 0，其中一根为x₁ = A。利用韦达定理，可将另一根表示成x₂ = kB – A或是x₂ = B² – k/A。
3. 从x₂的第一个表示式可得x₂为整数，第二个表示式可得x₂ ≠ 0因为k不是完全平方数。进一步的，我们从x₂² + B²/x₂B + 1 = k > 0可得x₂为正数。最后，从 A ≥ B可推出x₂ = B² − k/A < A，所以x₂ + B < A + B，与A + B为最小矛盾。

常数型韦达跳跃

范例

$a$和$b$是正整数，且$ab$整除$a^{2}+b^{2}+1$，试证$3ab=a^{2}+b^{2}+1$。

几何解释

范例

1988 IMO #6一样可以使用几何解释解出。$a$和$b$是正整数，且$ab+1$整除$a^{2}+b^{2}$。试证${\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$为完全平方数。

参见辞条

• 韦达定理
• 反证法
• 马尔可夫方程
• 无穷递降法