几何学中,顶点图是一种用于描述几何图形顶角特性的方式,大致上是将一个几何图形角被切去时所露出的形状[1]

立方体的顶点图为正三角形
三角柱的顶点图是一个等腰三角形。其中等腰三角形的底边位于三角柱的三角形面,另外两腰位于正方形面上。为了要方便表达这个顶点图的性质,我们可以使用顶点布局英语Vertex configuration符号3.4.4表是,其代表顶点图的等腰三角形其中一条边来自来源多面体三角形、两条来自来源多面体的正方形。

定义

先从多面体上选一个顶点,将该顶点的连出去的边所连接到的顶点标记起来,将这些标记跨越相邻面连接起来,这些线形成完整的一周,也就是一个环绕著该顶点的多边形,这个多边形即为该多面体的顶点图[2]

正几何图形

 
大二十面体的顶点图是五角星,可以用施莱夫利符号计为{5/2}

若一个几何图形正图形,其本身和顶点图就都能够使用施莱夫利符号表示。

正图形施莱夫利符号一般会写成 {a,b,c,...,y,z} 的形式,胞为 {a,b,c,...,y},顶点图则可以表示为 {b,c,...,y,z}。

  1. 正多面体在施莱夫利符号中计为{p,q},其顶点图就是一个正q边形,在施莱夫利符号中计为{q}。
    • 举例来说,立方体在施莱夫利符号中计为 {4,3},其顶点图是正三角形,在施莱夫利符号中计为 {3}。
  2. 四维正图形英语regular 4-polytope三维空间填充在施莱夫利符号中计为{p,q,r},其顶点图在施莱夫利符号中就计为{q,r}.
    • 举例来说,超立方体在施莱夫利符号中计为{4,3,3},其顶点图是正四面体,在施莱夫利符号中计为{3,3}。
    • 同样的,立方体堆砌的施莱夫利符号为{4,3,4},其顶点图是施莱夫利符号计为{3,4}的正八面体

范例

 
部分的截角立方体堆砌

以截角立方体堆砌为例,其顶点图为一个非正的四角锥。

顶点图:不规则四角锥  
施莱格尔图英语Schlegel diagram
 
透视图
八面体的正方形顶点图  
(3.3.3.3)
四个来自截角立方体的等腰三角形  
(3.8.8)

棱图

 
截角立方体堆砌有两种棱的角,其中一种是4个截角立方体的公共棱,另一种是1个正八面体和两个截角立方体的公共棱。可以以2个棱图来表示,也就是说其顶点图的顶点图有两种可能。

棱图是顶点图的顶点图[3],可用于描述几何图形的角(在三维空间中可理解为二面角)的特性。

往更高的维度推广,还有面图、胞图,面图用于描述几何图形的四维面与面的交角,可以理解为堆砌体中,面与面接合的部分,虽然三维的面与面交会的部分都是平角,但到四维空间就可以存在角度,类似二面角那样,到五维空间就会需要类似顶点图的面图来描述其结构(类似于正多边形镶嵌的多边形与多边形棱的交会部分,因为是在平面上,因此这个二面角当然会是平角,但到了三维空间,这种角就会出现角度、四维以上就会有不止两个图形交会于此,因此需要棱图来描述)。其他更高维度还有胞图、n维胞图等。

依此概念继续推广还有面图、胞图......以此类推。他们用来描述高维度的几何体对应元素的结构。

参见

参考文献

参考资料
  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Vertex figure. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
  3. ^ Klitzing, Richard. Klitzing:Vertex figures,etc.. bendwavy.org. [2016-08-23]. (原始内容存档于2011-08-08). 
参考书籍
  1. H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
  2. P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
  3. H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, OUP (1961).
  4. J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
  5. M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
  6. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p.289 Vertex figures)

外部链接