乘法原理

乘法原理是組合計數的基本計數原理。簡而言之，「若有$a$種方法做某事，$b$種方法做另一事，則合共有$a\cdot b$種方法做此兩件事。」

集合$\{A,B\}$之元素，與集合$\{1,2,3\}$的元素可以組成$6$種不同組合。

舉例

設在港式粉麵店要點一碗湯粉麵，主食有三種：粗麵、幼麵、河粉，要選恰好一款；而配料有兩種選擇：雲吞、牛腩，亦要選恰好一款。問可選配搭數為何。

使用乘法原理，答案是$3\times 2=6$，總共有六種配搭。

抽象一點，考慮從$A,B,C$三件物件選一，再從$X,Y$兩件物件選一。使用乘法原理，可知總共有$3\times 2=6$種選法。本例中，可以窮舉所有可能性驗證：可選的組合有$AX,AY,BX,BY,CX,CY$，共六種。

上述例子中，集合$\{A,B,C\}$和$\{X,Y\}$不交，即兩次選擇中，沒有選項重複出現，但這並非必要，乘法原理即使兩次選擇的選項有相同，仍然成立。從$\{A,B,C\}$選一個元素，然後再選一次，效果等同選取了一個有序對，其兩個分量都在$\{A,B,C\}$中，選法的總數為$3\times 3=9$。

應用

集合論中，乘法原理可以視為基數乘積的定義。對於集合$S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}$，以$|S_{i}|$表示$S_{i}$的元素個數（基數），則有

$|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|,$

其中$\times$表示笛卡兒積。$S_{i}$可以是無窮集，甚至可以考慮無窮多個集合的乘積，參見基數和選擇公理。

參見

• 加法原理是另一個基本計數原理。簡而言之，「若有$a$種方法做某事，$b$種方法做另一事，但只能選其一，則合共有$a+b$種選擇。」
• 其他組合技巧