傅里葉正弦、餘弦變換

數學中,傅里葉正弦和餘弦變換傅里葉變換不使用複數的表達形式。它們最初被約瑟夫·傅里葉使用並仍在某些應用中有所擅長,如信號處理概率統計

定義

方程 f (t)傅里葉正弦變換,有時也被表示為  or  ,有

 
 

如果 t 代表時間,那麼 ω 就是單位時間周期內的頻率,但抽象來說,它們可以是互相關聯的任何一對變量。

這個變換必須是頻率的奇函數,即對所有的 ω

 

傅里葉變換中的數值因子僅由它們的乘積定義。為了讓傅里葉逆變換公式不包含任何數值因子,因子 2 出現因為對正弦函數有 L2 norm of  

方程 f (t)傅里葉餘弦變換,有時也被表示為  ,有

 

這個變換必須是頻率的偶函數,即對所有的 ω

 

一些著者[1]僅定義了 t偶函數的餘弦變換,在這種情形下正弦變換為 0。因為餘弦也是偶函數,所以可以使用更簡單的公式:

 

相似地,如果 f奇函數,那麼餘弦變換就為 0 且正弦變換簡化為:

 

傅里葉逆變換

按照通常的假設,原始方程 f 可以從變換形式中復原。即 f 和它的兩種變換都是絕對可積的。更多不同的假設,參見傅里葉逆變換

逆公式是[2]

 

它有一個優點是所有頻率都是正數且所有量都是實數。如果省略變換中的因子 2,那麼逆公式通常寫為正和負頻率的的積分。

用餘弦的變換公式,可以再表示為:

 

這裡 f (x + 0) 表示 fx 從上方趨近於零的一邊極限。且 f (x − 0) 表示 fx 從下方趨近於零一邊的極限。

如果原始方程 f 是偶函數,那麼正弦變換就為零;如果 f 是奇函數,那麼餘弦變換就為零。在任何一種可能中,逆變換方程都可以化簡。

與複指數的關係

如今用得更為廣泛的傅里葉變換的形式是

 

相關條目

參考

  • Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211
  1. ^ Mary L. Boas,在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》,第二版,John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
  2. ^ Poincaré, Henri. Theorie analytique de la propagation de chaleur. Paris: G. Carré. 1895: pp. 108ff. [2014-05-27]. (原始內容存檔於2017-08-07).