光路計算

光路計算是二十世紀就已經開始出現的光學鏡頭設計中的古老技術。幾何光路計算用於描述光線通過鏡頭系統或者光學儀器時的傳輸特性，並建立系統的成像屬性模型。這用於建造前優化光學儀器的設計，例如減少色像差或者其它的光學像差。光線跟蹤也用於計算光學系統中的光程差，光程差用於計算光學波前，而光學波前用於計算系統的衍射作用，例如點擴展函數、調製傳遞函數以及 Strehl ratio。光線跟蹤不僅用於攝影領域的鏡頭設計，也可以用於微波設計甚至是無線電系統這樣的較長波長應用，也可以用於紫外線或者X射線光學這樣的較短波長領域。

光學設計所用的技術通常比較嚴格，並且能夠更加正確地反映光線行為。尤其是光的色散、衍射效應以及光學鍍膜的特性在光學鏡頭設計中都是非常重要的。

在計算機出現以前，光路計算需要使用三角以及對數表手工計算，許多傳統攝影鏡頭的光學公式都是許多人共同完成優化的，每個人只能處理其中一小部分的計算工作。現在這些計算可以在如來自於 Lambda Research 的 OSLO 或者 TracePro、Code-V 或者 Zemax 這些光學設計軟件上完成。一個簡單的光路計算版本是光線傳遞矩陣分析，它通常用於激光光學諧振腔的設計。

球面反射的光路計算

為了說明光路計算所用的基本原理，我們來看計算一個光線與球體交點的例子。用 I 表示球面上的點，C 表示球心，r 表示半徑，那麼球面的公式為 $|\mathbf {I} -\mathbf {C} |^{2}=r^{2}$. 如果定義一條線的起點即光線起點是 S，方向是 d，那麼線上的每個點都可以表示為

$\mathbf {S} +t\mathbf {d} \ ,$

其中 t 是定義線上與起點距離的常數，為了簡化起見，通常 d 定義為單位向量。那麼，在這種情況下已知 S、d、C 以及 r，於是代入 I 得到：

$|\mathbf {S} +t\mathbf {d} -\mathbf {C} |^{2}=r^{2}\ .$

簡化 $\mathbf {V} \equiv \mathbf {S} -\mathbf {C}$ ，那麼

$|\mathbf {V} +t\mathbf {d} |^{2}=r^{2}$

$\mathbf {V} ^{2}+t^{2}\mathbf {d} ^{2}+2\mathbf {V} \cdot t\mathbf {d} =r^{2}$

$d^{2}t^{2}+2\mathbf {V} \cdot t\mathbf {d} +\mathbf {V} ^{2}-r^{2}=0\ .$

那麼二次方程的解是

$t={\frac {-2\mathbf {V} \cdot \mathbf {d} \pm {\sqrt {(2\mathbf {V} \cdot \mathbf {d} )^{2}-4d^{2}(V^{2}-r^{2})}}}{2d^{2}}}\ .$

這只是直線光線與球體交點的所用的數學公式，當然對於通用的光線跟蹤來說是遠遠不夠的，但是它至少表示了這個算法如何使用的一個實例。

球面折射的光路計算

圖解法

比較簡單的鏡頭，例如聚光鏡，圖解法就完全勝任，1926年Dowell 和 van Albada 的一篇論文《光學系統設計的圖解法》敘述這種基於光的折射定律的圖解法。圖解法的優點是簡便快捷。光學設計師在用三角函數計算複雜光路時，可以同時採用圖解法，以便隨時觀察鏡頭的直徑和厚度的變化。圖解法也可用於近軸光系或非球面。

三角函數法

主要有兩類

L,U計算法，便於用計算尺、對數表進行計算

Q,U計算法，用於計算機。

參考文獻

• Moritz von Rohr, Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments, W.H.STATIONARY, LONDON,1920
• A.E.Conrady,Applied Optics and Optical Design
• Rudolf Kingslake, Lens Design Fundamental

• 葉玉堂 肖俊 饒建珍等編著 《光學教程》第二版 第一章第1.3.2節《單個折射球面的光路計算》 清華大學出版社 2011 第9-10頁 ISBN 978-7-302-26270-1