克萊尼不動點定理

數學中,序理論克萊尼不動點定理(英語:Kleene fixed-point theorem)指出給定任何完全格 L 和任何具有斯科特連續性函數

最小不動點存在,如果我們用來表示L內的最小元素,那麼

證明

我們首先定義集合 ,為了方便表示,我們用 來表示集合 中最大的元素,即 。我們想要證明 為函數 的最小不動點。

首先我們證明 為函數 的不動點。因為函數 是斯科特連續的,所以我們有 

接下來我們證明 為函數 的最小不動點。假設函數 存在另外一個不動點 ,因為 , 且函數 為單調函數(由於斯科特連續性),所以 。假設 , 根據數學歸納法, 。 即 為函數 的最小不動點。

參見