公式 (數理邏輯)

在數理邏輯中，公式是表達命題的形式語法對象，除了這個命題可能依賴於這個公式的自由變量的值之外。^{[需要解釋（似乎翻譯自英語而語焉不詳）]}

公式精確定義依賴於涉及到的特定的形式邏輯，但有如下一個非常典型的定義（特定於一階邏輯）：公式是相對於特定語言而定義的；就是說，一組常量符號、函數符號和關係符號，這裡的每個函數和關係符號都帶有一個元數（arity）來指示它所接受的參數的數目。

定義

項的遞歸定義

一個變量

或

一個常量符號

或

$f(t_{1},...,t_{n})\,$ ，這裡的 $f\,$ 是一個n-元函數符號，而 $t_{1},...,t_{n}\,$ 是項。

公式的遞歸定義

$t_{1}=t_{2}\,$ ，這裡的 $t_{1}\,$ 和 $t_{2}\,$ 是項

或

$R(t_{1},...,t_{n})\,$ ，這裡的 $R\,$ 是一個n-元關係符號，而 $t_{1},...,t_{n}\,$ 是項

或

$(\neg \varphi )$ ，這裡的 $\varphi \,$ 是公式

或

$(\varphi \land \psi )\,$ ，這裡的 $\varphi \,$ 和 $\psi \,$ 是公式

或

$(\exists x)(\varphi )\,$ ，這裡的 $x\,$ 是一個變量而 $\varphi \,$ 是一個公式。

解釋

公式並不一定具備封閉形式（即不一定沒有省略號）。

階乘「！」、求和式「∑」和求積式「∏」等都隱含省略號。
排列數和組合數等都含有省略號。

按照通項公式去計算有時比按照定義去計算更加複雜。

斐波那契數列公式：

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}

但是相比較按照這個公式計算 $f_{n}\,$ ，還是按照遞歸定義： $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}(n\geq 3)\,$ 進行計算更方便。

根據謂詞邏輯的語義推導規則，語義應該具有一致性，就是對於一個命題邏輯語句集f，當且僅當至少存在這樣一種解釋i，f的一切元素在i之下都是真的，那麼，f是語義一致的。在命題邏輯語義學內，一個賦值不能同時把真和假給予某個命題原子式。在命題邏輯語義學中，在同一解釋下，一個集合不能既屬於某個謂詞的外延又不屬於該謂詞的外延。{現代西方哲學邏輯，復旦大學出版社235頁}

原子公式

參見

外部連結

NIST數學函數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）