協變導數

數學上，共變導數或稱共變導數是在流形上定義沿着向量場的導數的方法之一。

事實上，除了引入的風格不同之外，共變導數和聯絡沒有實質上的區別。

這裡，我們給出一個向量相對於向量場的共變導數(也稱為張量導數)的傳統的帶指標記號的簡介；張量的共變導數是同一概念的推廣。

本條目中，我們使用愛因斯坦記號。我們假設讀者熟悉微分流形的概念特別是關於切向量的概念。

一般概念

向量u的沿着向量v的共變導數 $\nabla$ (也寫作D)是一個定義第三個稱為 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ (也作 D_vu)的向量的規則，它有如下面所述的導數的屬性。向量是一個幾何對象，和所選基(坐標系統)無關。固定一個坐標系之後，這個導數和向量基自身的變換規則相同(共變變換)，所以有這個名字。

在歐幾里得空間的情形，如果有一個標準正交坐標系，一般會用兩個相近的點的兩個向量的差來定義向量場的導數。

在這樣的系統中，平移其中一個向量到另一個的原點，保持和原來的向量平行。這樣得到的歐氏空間的共變導數可以取每個分量的導數。

但是在一般情況，我們必須把坐標系的變化考慮在內。在彎曲空間中，例如地球表面（作為一個球面），平移沒有嚴謹的定義，而和它相似的概念，平行移動，依賴於向量被平移的路徑。例如，在二維歐幾里得平面極坐標中，導數包含了額外的項用於表述坐標格點自身如何「轉動」。在其他的情況下，還有額外的項描述坐標格點如何擴張，收縮，扭轉，交織，等等。

這是一個二維歐氏空間中的極坐標中的曲線的一個例子。在曲線參數 t 的向量(比如說加速度，不在圖中)可以表達在坐標系 $({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })$ 中，其中 ${\mathbf {e} }_{r}$ 和 ${\mathbf {e} }_{\theta }$ 是極坐標中的單位切向量，用作把一個向量分解為在輻向和切向分量的基底。稍後，極坐標的新基底會相對於第一套基底稍有轉動。基向量的共變導數（克里斯托費爾符號可以表達這個變化）。

(可能最好不要把t看作時間參數，至少在廣義相對論的應用中不要這樣。它只是一個任意參數沿着路徑光滑而單調的變化。）

另一個例子:向量e在球上位於赤道上的一點Q，方向朝北。假設我們首先沿着赤道平行移動該向量直到P（然後保持它和自己平行））着子午線把它拖到北極N然後（保持方向）繼續沿着另一條子午線移動它回到Q。然後我們注意到沿着封閉迴路平行移動的向量不會回到原來的向量;它會變成另外一個方向。這在歐氏空間不會發生，它發生的原因是球的曲面上的曲率。如果我們沿着無窮小閉曲面依次沿着兩個不同方向然後返回，我們會看到同樣的現象。向量的無窮小變化是曲率的一個測量。

備註

定義中的向量 u 和 v 是定義在同一點 p 的。而且共變導數 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 也是 p 的一個向量。

共變導數的定義不用空間的度量。但是，一個給定的度量唯一的確定了一個特殊的共變導數，稱為列維-奇維塔聯絡。

導數的性質暗示者 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 依賴於p周圍的情況，就像標量函數在一點p沿着曲線的導數依賴於p點周圍一樣。

在共變導數中關於點 p 圍的信息可以用來定義向量的平行移動。而且曲率，撓率和測地線也可以只用共變導數來定義。

偶爾，術語「共變導數」指一個一般向量叢沿着基空間的一個切向量的截面的導數；參看「聯絡形式」中的「向量叢」的有關章節。

形式化定義

函數

給定流形 $M$ 上一點 $p$ 和其上一個實函數 $f$ ， $f$ 在 $p$ 點沿 $\mathbf {v}$ 的共邊導數是一個定義在 $p$ 處的標量，記為 $(\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}$ ， $(\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}$ 等於實函數 $f$ 在 $p$ 處沿向量v方向的通常導數， $\nabla _{\mathbf {v} }f$ 也可以記為 ${\mathbf {v} }f$ 或者 $df({\mathbf {v} })$ 。

向量場

向量場 ${\mathbf {u} }$ 在向量 ${\mathbf {v} }$ 方向的共變導數 $\nabla$ 記為 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 對任意向量場 u, v, w 和標量函數f和g由下列性質定義:

$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 對於 ${\mathbf {v} }$ 代數式線性所以 $\nabla _{f{\mathbf {v} }+g{\mathbf {w} }}{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+g\nabla _{\mathbf {w} }{\mathbf {u} }$
$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 對於 ${\mathbf {u} }$ 可加，所以 $\nabla _{\mathbf {v} }({\mathbf {u} }+{\mathbf {w} })=\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {w} }$
$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 遵守乘積法則，也就是說 $\nabla _{\mathbf {v} }f{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+{\mathbf {u} }\nabla _{\mathbf {v} }f$ 其中 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ 如前所定義。

注意 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 在點p依賴於v在p點的值以及u在p的一個鄰域的值，因為最有一個性質乘積法則的要求。這表示共變導數不是一個張量。

餘向量場

給定餘向量場(或者說1-形式) $\alpha$ ，其共變導數 $\nabla _{\mathbf {v} }\alpha$ 可以用下邊的對於所有向量場u都滿足的恆等式來定義

\nabla _{\mathbf {v} }(\alpha ({\mathbf {u} }))=(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )({\mathbf {u} })+\alpha (\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }).

餘向量場沿着一個向量場v的共變導數還是一個餘向量場。

張量場

一旦定義了向量和余向量場的共變導數，它就可以定義到任一張量場上，這要用如下的恆等式，其中 $\varphi$ 和 $\psi$ 是任意兩個張量:

\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _{\mathbf {v} }\psi ),

並且，若 $\varphi$ 和 $\psi$ 是同一個張量叢的張量場，則

\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )=\nabla _{\mathbf {v} }\varphi +\nabla _{\mathbf {v} }\psi .

沿着向量場v的共變導數也還是同類型的張量場。

坐標表示

給定坐標函數 $x^{i},\ i=0,1,2,...$ ，任何切向量都可以用它的在基 $e_{i}={\partial \over \partial x^{i}}$ 中的分量表示。共變導數是一個向量，所以可以表示為基向量的線性組合Γ^ke_k，其中Γ^k 是分量（參看愛因斯坦記號)。要給定共變導數，給定每個基向量場e_j 沿着e_i的共變導數就可以了