圖蘭篩法

數論中,圖蘭篩法(Turán sieve)是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧,而這些條件一般都以同餘表示。這篩法由圖蘭·帕爾於1934年發展。

圖蘭·帕爾

描述

篩法的術語中,圖蘭篩法是一種「組合篩法」,也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。此種篩法可給出「篩選過的」的集合大小的上界。

 為不大於 的正整數的集合,並假定 為質數的集合,然後設  中可為 中的質數 整除的數組成的集合;此外,可設  中的不同質數的乘積,在這種狀況下,可相應地定義  中可被 整除的數的集合,並定義  本身。

 為任意實數,而  中不大於 的質數的乘積,那這篩法的目標就是估計下式:

 

我們可以假定說在 為質數 的狀況下, 可由下式估計:

 

而在 為相異質數  的乘積狀況下, 可由下式估計:

 

其中  的元素個數,而 則是一個使得 的函數。

 ,可得下式:

 

應用

參考資料