奇異值

數學中，特別是泛函分析中，作用於希爾伯特空間X、Y之間的緊算子$T:X\rightarrow Y$的奇異值是自伴算子$T^{*}T$（$T^{*}$表示T的伴隨）的非負特徵值的平方根。

奇異值是非負實數，一般按遞減順序排列（$\sigma _{1}(T),\ \sigma _{2}(T),\dots$）。最大的奇異值$\sigma _{1}(T)$等於T的算子範數（見極小-極大定理）。

2維實值錯切矩陣M的奇異值分解可視化。首先，可見藍色的單位圓盤與2個標準基向量；然後，可見M的作用：將圓盤扭曲為橢圓。SVD將M分解為3個簡單變換：旋轉$V^{*}$、沿旋轉軸的縮放Σ及第二次旋轉 U。Σ是對角矩陣（本例中是方陣），對角線上包含M的奇異值，代表橢圓半軸長度$\sigma _{1},\ \sigma _{2}$。

作用於歐氏空間$\mathbb {R} ^{n}$的T的奇異值有簡單的幾何解釋：單位n球在T變換下的像是橢球，其半軸長度是T的奇異值（圖中提供了$\mathbb {R} ^{2}$的例子）。

奇異值是正規矩陣A的特徵值的絕對值，由譜定理可得A的單位對角化：$A=U\Lambda U^{*}$。因此有${\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}$。

研究的希爾伯特空間算子的大多數範數都是用奇異值定義的。例如，樊𰋀-k-範數是前k個奇異值的和，跡範數是所有奇異值的和，沙滕範數是奇異值的p次冪之和的p次根。注意每種範數都只定義在一類特殊的算子上，因此奇異值有助於算子的分類。

有限維情形，矩陣總可以分解為$\mathbf {U\Sigma V^{*}}$，其中$\mathbf {U}$、$\mathbf {V^{*}}$是酉矩陣，$\mathbf {\Sigma }$是矩形對角矩陣，奇異值在對角線上。這就是奇異值分解。

基本性質

對$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$、$i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$。

應用特徵值的最小-最大定理。這裡$U:\dim(U)=i$是$\mathbb {C} ^{n}$的i維子空間。

${\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}$

矩陣轉置和共軛不會改變奇異值。

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).$

對任意酉矩陣$U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).$

與特徵值的關係：

$\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).$

與跡的關係：

$\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A$.

若$A^{\top }A$滿秩，則奇異值的積是${\sqrt {\det A^{\top }A}}$。

若$AA^{\top }$滿秩，則奇異值的積是${\sqrt {\det AA^{\top }}}$。

若A滿秩，則奇異值的積是$|\det A|$。

關於奇異值的不等式

另見

子矩陣的奇異值

對$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$，

1. 令B表示刪除了某一行或某一列的A。則$$\sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
2. 令B表示刪除了某一行和某一列的A。則$$\sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
3. 令B表示A的$(m-k)\times (n-l)$子矩陣，則$$\sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$

A + B的奇異值

對$A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

1. $$\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}$$
2. $$\sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}$$

AB的奇異值

對$A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

1. $${\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}$$
2. $$\sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

對$A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ $$2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

奇異值與特徵值

對$A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$.

1. 見 $$\lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$
2. 假設$\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$，則對$k=1,2,\ldots ,n$：
   1. 外爾定理$$\prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).$$
   2. 對$p>0$。$$\sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).$$

歷史

奇異值這一概念由埃哈德·施密特（1907）提出，當時稱奇異值為「特徵值」。「奇異值」的名稱由史密斯於1937年首次使用。1957年，Allahverdiev證明了第n個奇異值的如下特徵：

$\sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{的秩}}<n\,{\big \}}.$

這種表述使奇異值概念可以推廣到巴拿赫空間的算子。 注意還有更一般的s-數（s-number）概念，也包括蓋爾范德和柯爾莫哥洛夫寬。

另見

• 條件數
• 龐加萊分離定理
• 舒爾–霍恩定理
• 奇異值分解