婆羅摩笈多-斐波那契恆等式

婆羅摩笈多-斐波那契恆等式 是以下的恆等式：

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}

這個恆等式說明了如果有兩個數都能表示為兩個平方數的和，則這兩個數的積也可以表示為兩個平方數的和。例如，

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=30^{2}+1^{2}=26^{2}+15^{2}.\,

(1)和(2)都可以用展開多項式的方法來證實。(2)可以通過把(1)中的 $b$ 換成 $-b$ 來得出。

這個等式在整數環和有理數環中都成立。更一般地，在任何的交換環中都成立。

它在數論中有很多應用，例如費馬平方和定理說明任何被4除餘1的素數都能表示為兩個平方數的和，則根據婆羅摩笈多-斐波那契恆等式，任何兩個被4除餘1的素數的積也都能表示為兩個平方數的和。

證明

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\\&=\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}{\color {red}-2abcd}\right)+\left(a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}{\color {red}+2abcd}\right)\\&=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\end{aligned}}

而若將 ${\color {red}-2abcd}$ 與 ${\color {red}+2abcd}$ 互換位置，即可得

\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}

如果 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是實數，那麼這個等式與複數的絕對值的乘法性質是等價的，也就是說：

|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|\,

由於

|a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,\,

兩邊平方，得

|a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},\,

根據絕對值的定義，

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,

在 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是有理數的情況中，這個等式可以解釋為域 $Q(i)$ 的範數是積性的。也就是說：

N(a+bi)=a^{2}+b^{2}\,

且

N(c+di)=c^{2}+d^{2},\,

而且

N[(a+bi)(c+di)]=N[(ac-bd)+i(ad+bc)]=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,

所以，這個等式就是說

N[(a+bi)(c+di)]=N(a+bi)\cdot N(c+di).\,