局部環

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。

定義

設 $R$ 為交換含幺環。若 $R$ 僅有一個極大理想 ${\mathfrak {m}}$ ，則稱 $R$ （或 $(R,{\mathfrak {m}})$ ）為局部環。域 $R/{\mathfrak {m}}$ 稱為 $R$ 的剩餘域。

若 $R$ 中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環 $(R,{\mathfrak {m}})$ 上帶有一個自然的 ${\mathfrak {m}}$ -進拓撲，使得 $R$ 成為拓撲環；其開集由 $\{{\mathfrak {m}}^{i}:i\geq 0\}$ 生成。當 $R$ 為諾特環時，可證明 $R$ 為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設 $(R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})$ 為局部環，環同態 $\phi :R\rightarrow S$ 被稱為局部同態，若且唯若 ${\mathfrak {m}}=\phi ^{-1}({\mathfrak {n}})$ 。

例子

域是局部環。
形式冪級數環 $k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ 是局部環，其中 $k$ 是個域。極大理想是 $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 。
取係數在 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。
凡賦值環皆為局部環。
設 $R$ 為任意交換環， ${\mathfrak {p}}$ 為素理想，則相應的局部化 $(R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})$ 是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若 $(R,{\mathfrak {p}})$ 已是局部環，則 $R{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}R_{\mathfrak {p}}$ 。
局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋

局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 $X$ 為拓撲空間， $F:=\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ ，且 $x\in X$ 。考慮所有資料 $(f,U)$ ，其中 $U$ 是 $x$ 的一個開鄰域，而 $f:U\rightarrow F$ 是連續函數。引入等價關係：

(f,U)\sim (g,V)\iff \exists W\subset U\cap V,\;f|_{W}=g|_{W}

且

W

是

x

的開鄰域。

換言之，若兩個函數在 $x$ 附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 $\Gamma _{x}$ ，其元素稱作在 $x$ 的連續函數芽，它體現了連續函數在 $x$ 附近的行為。若 $s\in \Gamma _{x}$ 滿足 $s(x)\neq 0$ ，則存在一個 $x$ 的開鄰域 $U$ 及連續函數 $f:U\rightarrow F$ ，使得 $[f,U]=s$ 且 $f$ 恆非零，因此可定義乘法逆元 $1/s:=[1/f,U]$ 。於是 $\Gamma _{x}$ 是局部環，其唯一的極大理想是所有在 $x$ 點取零的函數，剩餘域則是 $F$ 。