差分

導數的離散類比

差分,又名差分函數差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是數學中的一個概念,將原函數 映射。差分運算,相應於微分運算,是微積分中重要的一個概念。

定義

差分分為前向差分逆向差分

前向差分

函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數 ,如果在等距節點:

 
 

則稱 ,函數在每個小區間上的增量  一階差分。[1]

在微積分學中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分離散的函數中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當 多項式時,前向差分為Delta算子(稱 為差分算子[2]),一種線性算子。前向差分會將多項式階數降低 1。

逆向差分

對於函數 ,如果:

 

則稱  的一階逆向差分。

差分的階

一階差分的差分為二階差分,二階差分的差分為三階差分,其餘類推。記:

   階差分。

如果

   
 

根據數學歸納法,有

 

其中, 二項式係數

特別的,有

 

前向差分有時候也稱作數列二項式變換

差分的性質

對比解析函數中的微分的屬性,差分的性質有:

 
  • 線性:如果    為常數,則有
 
  • 乘法定則(此處步長 ):
 
 
 
 
 
 
 
 

牛頓級數

 
自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由「牛頓前向差分方程」的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況

 值間隔為單位步長 時,有:

 

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

 

二項式係數,其中的 是「下降階乘冪」(另一種常見的標記法為 ),空積 被定義為 。這裡的 是「前向差分」的特定情況,即間距 

實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,

 

一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:

 

在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

參考

  1. ^ 科學出版社 《數值分析及科學計算》 薛毅(編) 第六章 第2節 Newton插值. P204.
  2. ^ 科學出版社 《數值分析及科學計算》 薛毅(編) 第六章 第2節 Newton插值. P205.
  3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

參見

參考文獻