標準布朗橋（英語：Brownian bridge）是概率論中常見的一個研究對象。 它是一種連續時間上的隨機過程， 在0和1處取值為0.
2個相互獨立的標準布朗橋
注意不要和布朗運動混淆。
布朗橋有時又被稱為綁在0和1處的布朗運動（此處僅為意譯）。
非標準的 布朗橋 只是在條件 ![{\displaystyle \scriptstyle [B_{t_{1}}=a,B_{t_{2}}=b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997164d4d6babe2a4f352ab6560e5a419685edc4)
下一般化的布朗橋。
定義
标准的布朗桥 
为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件
下的维纳过程 （Wiener Process）。
它首先是一個高斯過程, 也就是說隨機向量 
在條件 
下服從高斯分布。所以它可以由期望和協方差來刻畫：
![{\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e788c8acbd8b5d7497d4ee76500f7783cd275a)
定義的備註
事件![{\displaystyle \scriptstyle [B_{1}=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aa163fad8207082350af6c45c7dc7cae101224)
的概率為0。 考慮滿足
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bc208c5af0729bc565ecc9311d9b57a3737613)
的事件 ![{\displaystyle \scriptstyle [|B_{1}|<\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dfee445d30d0a92195ec2753109254e0bf49d3)
，
我們可以考察條件分布 ![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bdc970343568646dbd34c7e4759bfd1c04b098)
。 由依分布收斂 可得：
![{\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e992ae9e7575427575acf99626435b1bf037a339)
這給出了布朗橋的一個嚴格定義。
和其他隨機過程的關係
和布朗運動的關係
性質1
設
為一個 維納過程 (或者 布朗運動), 那麼過程 
:
為一個標準的布朗橋。
相互定義
設 為一個標準的布朗橋， Z 是一個正態隨機變量，則過程 
et 
:
et 
為 ![{\displaystyle \scriptstyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a574ac8ce58b71ecb4c1c338f1688df55388fab)
和 ![{\displaystyle \scriptstyle t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f83452a1164b7bf25e6516c4fd245e08ab41a1)
上的維納過程。
性質 2
設 為一個 維納過程, 則過程 ：
為一個標準布朗橋。
相互定義
設 為一個標準的布朗橋, 那麼過程 ：
為一個維納過程。
擴散形式下的表達
也可以認為布朗橋是一種擴散過程。 事實上， 如果 
是一種標準的布朗橋，隨機方程
初始條件
的解和布朗橋同分布。
事實上, 
是一個 馬氏過程，這個從布朗橋的定義中不容易看出。
性質
設 為標準的布朗橋。
性質3
設 b 為一個實數，
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f8566322a28649bbff37f50d74ec3993a8e9ba)
性質4
設 b 為一個正實數
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a22ca0d455dae988eb813b31540a8d31105c2c)
性質 5
設a et b 為2個正實數.
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d505db123f4470e044b901d00b80fe63a60873c)
性質6
設 x 為一個正實數
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4860b51e977d52fbd29d34c2afa84f0dd8f34714)
相關條目
參考文獻
