希爾伯特基定理

希爾伯特基定理是數學、尤其是交換代數中的定理。它聲明諾特環上的多項式環也是諾特環。

定理陳述

設$R$為一個環，記$R[X]$為$R$上以$X$為變量的的多項式組成的環。大衛·希爾伯特證明了只要$R$不是「太大」——即$R$為諾特環——那麼$R[X]$也具有相同性質。形式上，

希爾伯特基定理. 如果$R$是諾特環，那麼$R[X]$也是諾特環。

推論. 如果$R$是諾特環，那麼$R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$也是諾特環。

定理可以如下翻譯成代數幾何的語言：域上的每個代數集都可以描述成有限多個多項式方程的公共根的集合。 Hilbert （1890） 在他對不變量環的有限生成的證明中，證明了希爾伯特基定理（在域上的多項式環這一特例）。

希爾伯特應用數學歸納法給出了一個創新的反證：他的證明並沒有提供對於任一理想生成對應的有限多個多項式方程的算法；相反，它只說明了這些多項式方程存在。通過Gröbner基的方法，我們可以確定給定理想的基多項式。。

證明

應用

設$R$為諾特交換環。希爾伯特基定理有下列直接推論：

1. 由歸納可見$R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$也是諾特環。
2. 由於$R^{n}$上的任何仿射簇（即一組多項式的零點集）可以寫作${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$里一理想的零點集，並進一步寫作理想的生成元的零點集，我們可以由此推出每個仿射簇都是有限多個多項式的零點集——換言之，都是有限多個超曲面的交集。
3. 如果$A$是有限生成的$R$-代數，那麼我們可以得出$A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$，其中${\mathfrak {a}}$是某一理想。基定理蘊涵了${\mathfrak {a}}$必須是有限生成的理想，比方說${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$；換言之，$A$是有限表現的。

Mizar系統

Mizar計劃已經完全形式化並自動檢查完畢希爾伯特基定理的證明；見HILBASIS file （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

參考

• Cox, Little, and O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, 1997.
• Hilbert, David, Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen, 1890, 36 (4): 473–534, ISSN 0025-5831, doi:10.1007/BF01208503