希爾伯特-施密特算子

在數學中，一個希爾伯特-施密特算子(英語：Hilbert–Schmidt operator)（得名於大衛·希爾伯特和埃哈德·施密特）, 是希爾伯特空間H上的有界算子A，有有限的希爾伯特-施密特範數

$\|A\|_{HS}^{2}={\rm {Tr}}(A^{*}A):=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}$，

其中$\|\ \|$是H上的範數，$\{e_{i}:i\in I\}$是H上的一組標準正交基，Tr是非負自伴算子的跡。這裡指標集不一定可數。這個定義不依賴於基底的選擇，所以有

$\|A\|_{HS}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}$，

其中$A_{i,j}=\langle e_{i},Ae_{j}\rangle$，$\|A\|_{2}$為$A$在p = 2時的Schatten範數。在歐幾里得空間中，$\|\ \|_{HS}$也被稱為弗羅貝尼烏斯範數，得名於費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯。

兩個希爾伯特-施密特算子的乘積有有限的跡類範數；因此，如果A和B是兩個希爾伯特-施密特算子，希爾伯特-施密特內積可以如下定義

$\langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle$。

希爾伯特-施密特算子構成一個H上的有界算子的Banach代數的雙邊*理想。它們構成一個希爾伯特空間，可以證明自然等距同構到希爾伯特空間的張量積

$H^{*}\otimes H$，

其中H^∗是H的對偶空間。

希爾伯特-施密特算子的集合在範數拓撲下是閉集，當且僅當H是有限維空間。

一類重要的例子是希爾伯特-施密特積分算子。

希爾伯特-施密特算子是二階核型算子，因此是緊的。

另請參閱

• 弗羅貝尼烏斯內積