帕德近似

帕德近似(英語:Padé approximant)是法國數學家亨利·帕德發明的有理多項式近似法。帕德近似往往比截斷的泰勒級數準確,而且當泰勒級數不收斂時,帕德近似往往仍可行,所以多用於在計算機數學中。

亨利·帕德

例如的泰勒級數

只有在時收斂,不如原函數廣泛。

定義

給定自然數m和正整數n, 函數  的[m,n]階帕德近似為

 

並且

 

對於給定的 函數 的[m,n]階帕德近似是唯一的。

函數 的帕德近似記為

 

例子

正弦函數

 

 的6+6=12階泰勒級數展開為

  的12階泰勒級數全同:

 

  其泰勒級數為  

與exp(x)本身的泰勒級數展開的前10階完全等同:  

又如

 

 


雅可比橢圓函數  

 

第一類 5 階貝塞爾函數  

 

 

菲涅耳積分  

 

Maple計算

Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分別表示 分子、分母的級數;

參考文獻

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Baker, G. A., Jr. Padé approximant頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Scholarpedia頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 7(6):9756.
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007 [2015-02-24], ISBN 978-0-521-88068-8, (原始內容存檔於2016-03-03) 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
  • Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562