平均場論

平均場論（英語：Mean field theory，MFT）是一種研究複雜多體問題的方法，將數量巨大的互相作用的多體問題轉化成每一個粒子處在一種弱周期場中的單體問題，這種方法常見於統計物理、固體物理和生物物理的研究中。在物理學和概率論中，平均場論(簡稱MFT，也叫作自洽場理論)是對大且複雜的隨機模型的一種簡化。未簡化前的模型通常包含巨大數目的含相互作用的小個體。平均場理論則做了這樣的近似：對某個獨立的小個體，所有其他個體對它產生的作用可以用一個平均的量給出，如此，簡化後的模型成為一個單體問題。這種思想源於皮埃爾·居里與皮埃爾·外斯對相變的研究工作中。受此啟發，這種方法廣泛應用於如傳染病模型、排隊論、計算機網絡性能和博弈論（ 隨機最優反應平衡）中。

介紹

包含相互作用的多體系，除一些非常簡單的例子外（如隨機場理論，一維伊辛1模型），往往難於精確求解。若構造一個比較精確的平均場，則n體問題轉化為單體問題。這種平均場近似代表的是，對一個任意粒子而言，所有其他粒子對它的作用。精確求解大體系的困難往往在於體系哈密頓中的粒子的相互作用項包含着大量的排列組合，比如在計算配分函數時，需將所有的態都加和起來。平均場理論的目標就是解決這種排列組合帶來的難題。MFT有很多不同叫法，初學者可能會因此而迷惑，諸如布拉格威廉姆斯近似、貝特晶格、朗道理論、皮埃爾·外斯近似、弗洛里－哈金斯溶液理論、Scheutjens–Fleer理論，這些都是平均場理論。

平均場的主要思想是將其他分子加諸某單體的作用代以一個有效場，或者叫有效作用，有時也將這種手段稱為分子場近似。這種辦法將多體問題轉化為近似等效的單體問題。平均場問題很容易求解，可以幫助我們更好地理解系統的行為，而且所耗費計算量也相對較低。

在場論中，哈密頓量可以在場的平均值附近按展開，展開的項就是漲落。在這種意義下，常稱平均場為哈密頓的零階項。這意味着平均場系統沒有漲落，這其實是將大量粒子的相互作用平均的後果。平均場作為零階項，是研究一階漲落和二階漲落的起點。

一般，維度是決定平均場理論是否有效的重要因素。平均場論將多體相互作用代以一個有效相互作用，因此，如果系統中的粒子相互作用很多，這就是高維度的情形，此時哈密頓量包含長程力，或者系統中個體本身就比較延展，那麼平均場理論往往會比較準確。金茲堡判據形式上給出了，由於漲落的存在，平均場理論的失效程度，這常取決於研究體系的空間維度。

MFT雖然最初產生於統計力學中，但近年已被廣泛應用於其他領域，如推理、圖模型理論、神經科學、人工智能等。

形式化處理

MFT的形式基礎是Bogoliubov inequality，這不等式斷言，若系統的哈密頓量是

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}$

則其自由能的上界為：

$F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}$

其中 $S_{0}$ 是 熵，式中的平均符號代表對哈密頓為 ${\mathcal {H}}_{0}$的參考系統對應的平衡態系綜取平均。如參考體系的哈密頓是無相互作用的，換言之，是如下形式：

${\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)$

其中 $\left(\xi _{i}\right)$ 代表系統中某個體的自由度。

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