恩布里-特雷費森常數

在數論中，恩布里-特雷費森常數（Embree-Trefethen constant）是一個和隨機費波那西數列有關的閾值，符號為 $\beta ^{*}$ ，其近似值為0.70258（OEIS數列A118288）。

針對一固定的正數 $\beta$ ，考慮以下的遞迴關係式

x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,

遞迴關係式中的正負號部份是隨機決定，相加及相減的機率各是一半。

可證明對於任何的 $\beta$ ，以下極限

\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,

幾乎必然存在。也就是說，數列表現類似指數的機率為1。

可得以下的式子

在

0<\beta <\beta ^{*}=0.70258

（近似值）時，

\sigma <1

,

因此當 $n\rightarrow \infty$ 時，數列以指數形式遞減的機率為1

在

\beta >\beta ^{*}

時，

\sigma >1

,

因此數列以指數形式成長

有關 $\sigma$ 的數值，可得：

參考資料

Embree, M.; Trefethen, L. N., Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society, 1999, 455 (455): 2471–2485, doi:10.1098/rspa.1999.0412 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

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