效用極大化

效用最大化問題，在經濟學中，特別是微觀經濟學中是指消費者所面對的這樣的問題，即「消費者應如何花費金錢使其效用極大化」。

哲學家邊沁（Jeremy Bentham，1748-1832）提出快樂與痛苦是控制人類行為的力量，人類極力求取快樂而逃避痛苦，這正是功用最大化（maximization of utility）的心態。產權理論的先驅艾智仁（Armen Alchian 1914- ）認為功用的定義是對不同物品根據個人喜好作選擇的排列。功用（數字）的概念（The concept of utility）在經濟學上是指武斷（隨意而不作解釋）地作數以排列人們的喜好，數字越大，喜好越強烈（序數功用的概念Ordinal concept of utility）。

假設他們的消費集是有$L$種商品的集合$\mathbf {X} \subset \mathbb {R} _{+}^{L}$ 。如果這$L$種商品的價格為 $\mathbf {p} \in \mathbb {R} _{+}^{L}$ ，該消費者的財富為$w$, 則所有可以負擔的組合的集合，即預算集為

$B(\mathbf {p} ,w)=\{\mathbf {x} \in \mathbf {X} |\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq w\}$。

消費者希望買到其所能負擔的最好的商品組合，若該消費者的效用函數為

$u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R}$ ，

則該消費者的最優選擇$\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,w)$為

$\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,w)=\arg \max _{\mathbf {x} \in B(\mathbf {p} ,w)}u(\mathbf {x} )$。

求解$\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,w)$就是這個效用最大化問題。針對不同的效用函數，求得的解不必是唯一的。

存在性

• 如果效用函數$u$連續，並且價格$\mathbf {p}$為正，則$\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,w)$為非空。

證明：$B(\mathbf {p} ,w)\subset \mathbb {R} _{+}^{L}$是一個緊性空間，因此若$u$在此上是連續的，根據瓦爾拉斯定律，意味着存在一點$\mathbf {x} \in B(\mathbf {p} ,w)$使得效用函數映射到其最大值。證畢。

如果消費者總是選取上面定義的最優組合，則$\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,w)$被稱為是馬歇爾需求對應。如果其只存在唯一組合使其最大化，則被稱為是馬歇爾需求函數。這個效用最大化問題中的效用函數和馬歇爾需求之間的關係也反映了支出最小化問題中支出函數和Hicks需求函數之間的關係。

在實際中，消費者可能不總是選擇最優的組合。譬如，這可能要求消費者思考太多的問題。有限理性是一種理論，它用滿意解決法解釋了這類行為——選取次優的、但是夠好的組合。

相關條目

• 效用函數
• 支出最小化
• 利潤最大化
• 拉格朗日乘數

參考文獻

• Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401
• 人的選擇和決定（計算決定法）