加星标轉換

在應用數學中，加星標變換（英語：Starred transform）是一種離散時間的拉普拉斯變換的變形，之所以如此命名是因為採樣信號的慣常表示中使用星號。加星標變換作用在連續時間函數 $x(t)$ 上，變換為 $X^{*}(s)$ 有以下公式:

$X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x(t)\cdot \delta _{T}(t)]={\mathcal {L}}[x^{*}(t)]$

$\delta _{T}(t)$ 即是狄拉克δ函數在多周期的形式狄拉克梳狀函數(Dirac comb function)。

加星標變換是一種邊界的數學抽象，表示了脈衝採樣函數 $x^{*}(t)$ 的拉普拉斯變換，脈衝採樣函數是理想採樣器的輸出，而理想採樣器的輸入時連續函數 $x(t)$ 。

加星標變換類似於Z變換，指示變量有簡單的變化。加星標變換明確聲明其是在採樣周期上變換，而Z變換是作用在離散的信號上而且與採樣周期無關。這使得加星標變換成為單邊Z變換的去規範化版本，因為加星標變換保留了對於樣本參數T的依賴性。

與拉普拉斯變換的關係

因為有 $X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x^{*}(t)]$ ，對 $x^{*}(t)$ 有:

$x^{*}(t){\overset {\text{def}}{=}}x(t)\cdot \delta _{T}(t)=x(t)\cdot \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$

對於卷積定理，加星標變換等同於 ${\mathcal {L}}[x(t)]=X(s)$ 和 ${\mathcal {L}}[\delta _{T}(t)]={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}$ 的復卷積，所以有:

$X^{*}(s)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{c-j\infty }^{c+j\infty }X(p)\cdot {\frac {1}{1-e^{T(s-p)}}}\cdot dp$

此線積分等同於沿着由一條線和無限半圓組成的閉合路徑在正方向上的積分，這個閉路徑將 $X(s)$ 的極點包在 $p$ 的左半平面內。如此積分的結果(通過留數定理):

$X^{*}(s)=\displaystyle \sum _{\lambda =poles\,of\,X(s)}Res_{p=\lambda }[X(p){\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}]$

上面的線積分等效於沿着該線和包括p右半平面的無窮遠的無限半圓形成的閉合路徑在負方向上的積分，即為:

$X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\displaystyle \sum _{k=\infty }^{\infty }X(s-j{\frac {2\pi }{T}}k)+{\frac {x(0)}{2}}$

給定Z變換， $X(z)$ 相應的加星標變換即是下面簡單的替換:

$X^{*}(s)=X(z)|_{z=e^{sT}}$

此變換保留了對T的依賴。

注意這是可交換的

$X(z)=X^{*}(s)|_{e^{sT}=z}$

$X(z)=X^{*}|_{s={\frac {\ln(z)}{T}}}$

性質1: $X^{*}(s)$ 是關於 $s$ 的以 $j{\frac {2\pi }{T}}$ 為周期的周期函數

$X^{*}(s+j{\frac {2\pi }{T}}k)=X^{*}(s)$

性質2:若 $X(s)$ 在 $s=s_{1}$ 有極點，則有 $X^{*}(s)$ 必在 $s=s_{1}+j{\frac {2\pi }{T}}k(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ 有極點

Bech, Michael M. ("Digital Control Theory")[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PDF). AALBORG University. Retrieved 5 February 2014.

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