曲線的撓率

本文討論於三維空間中曲線的撓率，關於撓率的其他用法，參見主條目撓率。

在初等三維曲線的微分幾何中，一條曲線的撓率（torsion，或譯扭率）度量了其扭曲的程度，即偏離平面曲線的程度。空間曲線的曲率和撓率在一起，與平面曲線的曲率類似。例如，他們都是弗勒內標架的微分方程組中的係數，由弗勒內-塞雷公式給出。

定義

設 C 是一條用弧長參數$s$給出的空間曲線，單位切向量為${\boldsymbol {t}}$。如果在某一點 C 的曲率$\kappa$不等於 0，那麼主法向量和次法向量分別是

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {t} '}{\kappa }},\quad \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} .$

其中撇號代表對參數$s$的導數。空間曲線在一點處的切向量${\boldsymbol {t}}$和主法向量${\boldsymbol {n}}$所張成的平面就是密切平面，密切平面的法向量${\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}$是曲線的次法向量。如果曲線本身位於一個平面內，那麼這個平面就是曲線的密切平面，相應的次法向量就是常向量。如果曲線不是平面曲線，則${\boldsymbol {b}}$不是常向量。因為${\boldsymbol {b}}$是單位向量，所以${\boldsymbol {b}}'$垂直於${\boldsymbol {b}}$。又因為${\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}$，所以${\boldsymbol {b}}'={\boldsymbol {t}}'\times {\boldsymbol {n}}+{\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}'={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}'$，故${\boldsymbol {b}}'$也垂直於${\boldsymbol {t}}$。所以${\boldsymbol {b}}'$與${\boldsymbol {n}}$共線。

撓率$\tau$度量了次法向量在那一點旋轉的速度。由方程

$\mathbf {b} '=-\tau \mathbf {n} .$

得出

$\tau =-\mathbf {n} \cdot \mathbf {b} '.$

註：次法向量的導數垂直於次法向量和切向量，從而和主法向量成比例。式中的負號僅僅是出於習慣，是這個學科歷史發展的副產品。

撓率半徑，通常記為 σ，定義為：

$\sigma ={\frac {1}{\tau }}\;.$

幾何解釋：撓率$\tau (s)$度量了次法向量的方向的改變。撓率越大，次法向量關於切向量所在的軸的轉動越快。

性質

• 平面曲線的撓率處處為 0；反過來，如果一條正則曲線的撓率處處為 0，那麼這條曲線在一個平面上。
• 螺旋線的曲率和撓率都是常數；反之，任何空間曲線如果其曲率和撓率都是非零常數，必然是螺旋線。撓率為正是右手螺旋，為負是左手螺旋。
• 定傾曲線或稱一般螺線（即切向量與一個固定方向交為定角的曲線）的撓率與曲率之比為常數；反之，如果正則曲線的撓率與曲率之比為常數，那麼曲線必是定傾曲線。

另一種描述

設 r = r(t) 是空間曲線的參數方程。假設參數是正則的且曲線的曲率處處非 0。精確地說就是，r(t)關於t三次可微，且向量$\mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)$線性無關。

那麼撓率可以由下面的公式表達出來：

$\tau ={{\det \left({r',r'',r'''}\right)} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}={{\left({r'\times r''}\right)\cdot r'''} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}.$

這裡撇號表示對 t 求導數，× 號為向量的叉積。對 r = (x, y, z)，上述公式的分量形式為

$\tau ={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}\;.$

例子：圓螺旋線${\boldsymbol {r}}(t)=(a\cos {t},a\sin {t},bt)\ (a>0)$的曲率、撓率都是常數，分別為

$\kappa ={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},\quad \tau ={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$

參考文獻

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag，2001 ISBN 1-85233-152-6