有限差分係數

下表列出使用有限差分法進行數值微分時,各項的係數。按計算中自變量取值方向,分為中心差分前向差分後向差分

中心差分

中心差分估算一階至高階微分按照下式:

 

其中 為自變量取等距格點計算函數值時的間隔。

下表列出不同計算精度下,等間距的一階至高階中心差分係數。[1]

階次 精度 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1 2       −1/2 0 1/2      
4     1/12 −2/3 0 2/3 −1/12    
6   −1/60 3/20 −3/4 0 3/4 −3/20 1/60  
8 1/280 −4/105 1/5 −4/5 0 4/5 −1/5 4/105 −1/280
2 2       1 −2 1      
4     −1/12 4/3 −5/2 4/3 −1/12    
6   1/90 −3/20 3/2 −49/18 3/2 −3/20 1/90  
8 −1/560 8/315 −1/5 8/5 −205/72 8/5 −1/5 8/315 −1/560
3 2     −1/2 1 0 −1 1/2    
4   1/8 −1 13/8 0 −13/8 1 −1/8  
6 −7/240 3/10 −169/120 61/30 0 −61/30 169/120 −3/10 7/240
4 2     1 −4 6 −4 1    
4   −1/6 2 −13/2 28/3 −13/2 2 −1/6  
6 7/240 −2/5 169/60 −122/15 91/8 −122/15 169/60 −2/5 7/240
5 2   −1/2 2 −5/2 0 5/2 −2 1/2  
6 2   1 −6 15 −20 15 −6 1  

例如, 精度的三階導的中心差分式為

 

前向與後向差分

下表列出不同精度下,等間距的一階至高階前向差分係數。[1]

階次 精度 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 −1 1              
2 −3/2 2 −1/2            
3 −11/6 3 −3/2 1/3          
4 −25/12 4 −3 4/3 −1/4        
5 −137/60 5 −5 10/3 −5/4 1/5      
6 −49/20 6 −15/2 20/3 −15/4 6/5 −1/6    
2 1 1 −2 1            
2 2 −5 4 −1          
3 35/12 −26/3 19/2 −14/3 11/12        
4 15/4 −77/6 107/6 −13 61/12 −5/6      
5 203/45 −87/5 117/4 −254/9 33/2 −27/5 137/180    
6 469/90 −223/10 879/20 −949/18 41 −201/10 1019/180 −7/10  
3 1 −1 3 −3 1          
2 −5/2 9 −12 7 −3/2        
3 −17/4 71/4 −59/2 49/2 −41/4 7/4      
4 −49/8 29 −461/8 62 −307/8 13 −15/8    
5 −967/120 638/15 −3929/40 389/3 −2545/24 268/5 −1849/120 29/15  
6 −801/80 349/6 −18353/120 2391/10 −1457/6 4891/30 −561/8 527/30 −469/240
4 1 1 −4 6 −4 1        
2 3 −14 26 −24 11 −2      
3 35/6 −31 137/2 −242/3 107/2 −19 17/6    
4 28/3 −111/2 142 −1219/6 176 −185/2 82/3 −7/2  
5 1069/80 −1316/15 15289/60 −2144/5 10993/24 −4772/15 2803/20 −536/15 967/240

例如, 精度一階導的前向差分式為 For example, the first derivative with a third-order accuracy and the second derivative with a second-order accuracy are

 

 精度二階導的前向差分式為

 

對應的後向差分式分別為

 
 

實際上,奇數階後向差分式相對前向差分,各係數q取相反數;而偶數階的則不變。如下表:

階次 精度 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
1 1               −1 1
2             1/2 −2 3/2
2 1             1 −2 1
2           −1 4 −5 2
3 1           −1 3 −3 1
2         3/2 −7 12 −9 5/2
4 1         1 −4 6 −4 1
2       −2 11 −24 26 −14 3

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 Fornberg, Bengt, Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids, Mathematics of Computation英語Mathematics of Computation, 1988, 51 (184): 699–706, ISSN 0025-5718, doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0 .