朱世傑

朱世傑（1249年—1314年），字漢卿，號松庭，燕山人，元代數學家兼教育家，畢生從事數學教育。朱世傑在當時天元術的基礎上發展出「四元術」，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創造出「垛積法」，即等冪數列的求和方法（等冪求和），與「招差術」，即有限差分法。主要着作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。

生平與着作

四元玉鑒

古籍中對朱世傑的生平介紹不多，只知道他曾以數學名家的身份遊歷四方，從事教學。朱世傑年輕時遍讀北方算學家着作，李冶的《測圓海鏡》一書對他影響很大。後來他還學習了李德載的二元術和劉大鑒的三元術，懂得了如何建立並解出二元、三元的高次方程組。在1270年代時，他已經是北方知名的算學家了。公元1279年，元滅南宋，朱世傑也來到南方遊學。他接結識了不少南方的數學家，接觸到了南方的算書，尤其是秦九韶的《數書九章》和楊輝的着作。後來，朱世傑到揚州定居，慕名而來求學的人絡繹不絕^[1]^[2]。大德三年（公元1299年），他的着作《算學啟蒙》在揚州刊刻。《算學啟蒙》分三卷，二十門，259問，由淺入深，循序漸進，從一位數的乘法開始，內容包括了各類乘除法歌訣、各類面積和體積以及算術問題，還有分數運算、垛積法、盈不足術，一直講到天元術。大德七年（1303年），他的代表作《四元玉鑒》也書成付梓。《四元玉鑒》分三卷，二十四門，共收錄288個問題，都與方程或方程組的求解相關。其中關於四元方程組的問題有七個，三元的有13個，二元的有36個。書中給出了多元高次方程組的消元方法，以及用正負開方術求數值解的方法^[3]。此外，受到南方數學重實用，重口訣的風氣，朱世傑在書中吸納了一些日用算法、商用算法和通俗歌訣。

數學思想

朱世傑的數學成果代表了宋元以來的最高水平，正是因為他吸取了各種先進的思想，並加以創造性的發展。朱世傑對算理十分重視，認為數學的基礎是數學理論。朱世傑的方程理論已經超出了實際中的計算需要，而具有更加純粹的數學性質，提高了數學的抽象程度和一般化程度。《四元玉鑒》中列出過高達十次的方程。但同時朱世傑也很重視天元術等數學理論的實際應用，着作中的許多問題都有實際的背景。

輔助未知數

在解分數係數的方程組時，傳統的方法是用各項乘以分母的最小公倍數，以轉換為整係數方程組。在《算學啟蒙》一書中，朱世傑採用設輔助未知數的方法，將分數係數轉化為整數係數。李冶在其着作中曾用設輔助未知數的方法轉化方程，而朱世傑將這種方法推廣應用到方程組上。

無理方程的轉化

無理方程是指出現了關於未知數的無理表達式的方程。李冶處理過根式，但並未解過無理方程。朱世傑着作中的無理方程是中國算學史上的首創。朱世傑的處理方法是將無理式設為輔助未知數，通過變量代換將無理方程轉化為有理方程來解決。這種方法只能針對只有一個無理式的無理方程，當出現形如 ${\sqrt {A}}+{\sqrt {B}}=C$ 的方程時，朱世傑則通過兩次平方，將其轉為有理方程。