李群胚

在數學中，李群胚（Lie groupoid）是滿足如下條件的群胚：對象集合 $Ob$ 與態射集合 $Mor$ 都是流形，源與靶運算

s,t:Mor\to Ob

是淹沒，以及所有範疇運算（源與靶，複合，單位映射）都是光滑的。

就像群胚是有許多對象的群，一個李群胚可以想象為「有許多對象的李群推廣」。恰如每個李群有一個李代數，每個李群胚有一個李代數胚。

例子

任何李群給出了具有一個對象的李群胚，反之亦然。所有李群胚理論包含李群理論。

給定任何流形 $M$ ，有一個李群胚稱為配對李群胚， $M$ 作為對象流形，從一個對象到任何對象恰有一個態射。在這個群胚的態射流形是 $M\times M$ 。

給定一個李群 $G$ 作用在流形 $M$ 上，有一個稱為平移李群胚的李群胚，對每個三元組 $g\in G,x,y\in M$ 使得 $gx=y$ 有一個態射。

任何葉狀結構給出了一個李群胚。

任何帶有結構群 G 的主叢 $P\to M$ 給出了一個李群胚，即在 M 上的 $P\times P/G$ ，這裡 G 作用在二元組的每個分量上。通過配對群胚相容的表示定義複合。

森田態射與光滑棧

除了群胚的同構，李群胚之間有一個粗糙一點的等價關係，即所謂的森田等價。一個很一般的例子是 切赫群胚之間的森田態射，如下所述。設 M 是一個光滑流形而 $\{U_{\alpha }\}$ 是 M 的開覆蓋。定義不交並 $G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }$ ，顯然有淹沒 $p:G_{0}\to M$ 。為了說明流形 M 的結構定義態射集合 $G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }$ ，這裡 $U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M$ 。源與靶映射定義為嵌入 $s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }$ 與 $t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }$ 。如果我們將 $U_{\alpha \beta }$ 視為 M 的子集，乘法是顯然的（ $U_{\alpha \beta }$ 與 $U_{\beta \gamma }$ 一致的點事實上在 M 中相同，也在 $U_{\alpha \gamma }$ 里）。

這個切赫群胚事實上是 $M\Rightarrow M$ 的拉回群胚，即 M 在 p 下的平凡群胚。這便是什麼為森田態射。

為了得到等價關係的概念，我們需要這個構造具有對稱性與傳遞性。在這種意義下，我們說兩個群胚 $G_{1}\Rightarrow G_{0}$ 與 $H_{1}\Rightarrow H_{0}$ 森田等價當且僅當存在第三個群胚 $K_{1}\Rightarrow K_{0}$ 以及從 G 到 K 與 H 到 K 的兩個森田態射。傳遞性是群胚主叢範疇中有趣的構造。

在這裡問題出現：在森田等價下什麼是不變的。有兩個顯然的東西，一個是群胚的粗糙商／軌道空間 $G_{0}/G_{1}=H_{0}/H_{1}$ ，另一個是 $p\in G_{0}$ 與 $q\in H_{0}$ 中對應點的穩定群。

更進一步的問題是粗糙商空間的是怎麼到一個光滑棧這個概念的。我們可以期望粗糙商是光滑流形，比如如果穩定群是平凡的（切赫群胚的例子便是）。但如果穩定群變了，我們便不能再指望得到光滑流形。解決方案是回到問題然後定義：

一個光滑棧是李群胚的一個森田等價類。棧上自然的幾何對象是李群胚在森田等價下不變的幾何對象。作為一個例子是考慮李群胚的上同調。

例子

光滑棧的概念非常廣泛，顯然所有光滑流形是光滑棧。
軌形也是光滑棧，即艾達爾群胚的等價類。
葉狀結構的軌道空間是另一類例子。

參見條目

外部連結

Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005