極點分離

極點分離(Pole splitting)是在放大器電路中進行頻率補償時,可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上電容器,希望將最低頻率的極點(多半在輸入側)時,極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性,也會改善其階躍響應,但其速度會變慢[1][2][3][4]

舉例

 
圖1:在輸入和輸出之間有補償電容器CC的運算放大器。運算放大器有輸入阻抗Ri和輸出阻抗Ro
 
圖2:用密勒定理轉換後的電路,將輔償電容轉換為輸入側的密勒電容,以及輸出側隨頻率變化的電流源

這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器CC,有兩個目的:使得放大器最低頻的極點頻率再降低,並且將次低頻率的極點頻率提高[5]。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗Ri以及電容Ci,其時間常數是Ci ( RA || Ri )。因為密勒定理的緣故,此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點,是因為負載電阻RL和電容CL,其時間常數是CL ( Ro || RL )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器CC影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係,因此頻率會提高。

第一個目的,也就是將最低頻率極點的頻率調低,可以用類似密勒效應條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序,圖1的電路可以轉換為圖2的電路,兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖2的輸入側,可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓 的函數

 

滾降英語roll-off從頻率f1開始

 

其中的 是最低極點的時間常數,比原始的時間常數要低,原始的時間常數對應CC = 0 F時,是 

若考慮第二個目的,讓較高頻率的極點頻率再往上增加,需要看電路的輸出側,輸出側為整體增益增加了第二個因子,也有額外的頻率相依性,電壓 是由理想放大器的增益決定的

 

利用這個關係,再在輸出側應用基爾霍夫電路定律,可以得到負載電壓 相對於運算放大器輸入電壓 的函數:

  

這個運算式可以結合輸入側電路的增益,得到整體增益是

 
   

增益公式中是一個單純的二階響應,有二個時間常數(其中也有一個零點,假設放大器增益Av很大的話,此零點只有在很高頻率才需要考慮,目前的討論可以假設分子是1)。不過,雖然放大器看似二極的行為,但這二個時間常數比上述的要複雜,因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性,在較高頻時就需要考慮。假設輸出R-C乘積CL ( Ro || RL ),對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式,需要用精確值。根據密勒定理,密勒電容為

 

(針對一個正的密勒電容,Av為負值)。將此結果代入增益公式中,增益可以改寫如下:

 

其中Dω是ω的二次式:

           

上述的二次式可以改寫如下:

 
 

其中  and  Dω公式中結合了電阻和電容的值。[6]。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大,假設 是較大的時間常數,對應最低的極點,另外再假設  >>  (若要有良好的階躍響應,會需要  >>  ,可以看以下的如何選擇CC章節)

在放大器最低極點還低的頻段,ω的線性項比二次項影響更大,因此Dω的低頻特性為:

 

其中的CM會用密勒效應重新定義為

 

就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下,假設  >>  ,可以確定 。因為CM很大,時間常數 遠大於其原始值Ci ( RA || Ri ).[7]

在高頻時平方項影響較小,假設上述有關  的結果有效,對應較高頻率的第二個時間常數,可以由Dω的二次項求得,為

 

將平方項係數的公式代到 ,再加上  的估計值,可以得到第二個極點的估計位置:

 

因為CM很大, 會比原來的值CL ( Ro || RL )要小,也就是說,較高頻率的極點其頻率會因為CC而提高.[8]

簡單來說,導入CC降低低頻極點,提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

如何選擇CC

 
圖3:二極點放大器設計的理想波德圖。第一個極點在f1,增益以20 dB / decade的斜率下降,第二點極點在f2',增益以40 dB / decade的斜率下降

在一般的應用中,傳統放大器設計(稱為「主極點」或「單極點補償」)會要求放大器增益在轉角頻率處以20 dB/decade的斜率下降,降到0 dB增益,甚至更低[9] [10]。在此設計下,放大器會穩定,而且有近乎最佳的階躍響應,類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法[11][12]

在設計中選擇f2的方式如圖3所示。在最低極點f1處,波德增益圖開始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20 dB/decade的下降斜率,一直到0dB為止,並且取20 log10 Av增益(以dB)表示的下降量,除以希望的頻率變化(在log頻率尺度上[13]),( log10 f2  − log10 f1 ) = log10 ( f2 / f1 ),就是這段的斜率

斜率  

f2 = Av f1,上述的值會是是20 dB/decade。若f2沒有這麼大,波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0 dB之前,這會讓穩定性變差,而且階躍響應也會不好。

圖3也說明了正確的增益和頻率的關係,第二個極點至少要是第一個極點的Av倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點,因此要修正輸入和輸出電壓分配下的Av,使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」(pole-ratio condition)可得:

 
 
圖4:用Microsoft Excel繪出低頻率CM的密勒電容CM(上方)以及補償電容CC(下方) 和增益的函數關係,電容的單位是pF

利用上述時間常數的近似,可以得到

 

   

這是一個可以求得CC近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點-增益條件(在圖中低增益時的補償電容器CC很小),但增益增加時,因為需要的極點增益快速上昇,補償電容器就越來越重要(在圖4時,補償電容器隨頻率迅速的增加)。若增益更大時,因為CC的密勒放大作用,會隨著增益而增加(可以參考密勒方程式),因此必要的CC會隨著增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性,保留較多的安全預度,Av會設計成等式右邊Av值的兩倍或三倍[14]。可以參考Sansen[4]或Huijsing[10]的參考資料

迴轉率

上述都是小信號分析。不過若用在大信號時,因為補償電容器需要充電和放電,會對放大器的迴轉率英語slew rate有不良的影響。而且因為需要為CC充電,會限制斜坡函數輸入下的響應。

相關條目

參考資料和腳註

  1. ^ 上昇時間會在低過沖以及低振鈴的條件下,儘可能的調快
  2. ^ C. Toumazu, Moschytz GS & Gilbert B (Editors). Trade-offs in analog circuit design: the designer's companion. New York/Berlin/Dordrecht: Springer. 2007: 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2. 
  3. ^ Marc T. Thompson. Intuitive analog circuit design: a problem-solving approach using design case studies. Amsterdam: Elsevier Newnes. 2006: 200. ISBN 0-7506-7786-4. 
  4. ^ 4.0 4.1 Willy M. C. Sansen. Analog design essentials. New York; Berlin: Springer. 2006: §097, p. 266 et seq [2021-07-08]. ISBN 0-387-25746-2. (原始內容存檔於2009-05-30). 
  5. ^ 雖然這個例子看起來很特別,相關的數學分析常用在電路設計中
  6. ^ 時間常數的和是jω線性項的係數,時間常數的積是(jω)2平方項的係數
  7. ^  的公式和一開始f1所得的( CM+Ci ) ( RA || Ri有些不同,但假設負載電容沒有大到會控制低頻響應,其差異不大
  8. ^ 順帶提一下,高頻極點的頻率越高,在實際放大器中其他極點影響的可能性就越大
  9. ^ A.S. Sedra and K.C. Smith. Microelectronic circuits Fifth. New York: Oxford University Press. 2004: 849 and Example 8.6, p. 853 [2021-08-20]. ISBN 0-19-514251-9. (原始內容存檔於2009-02-04). 
  10. ^ 10.0 10.1 Huijsing, Johan H. Operational amplifiers: theory and design. Boston, MA: Kluwer Academic. 2001: §6.2, pp.205–206 and Figure 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0. 
  11. ^ Feucht, Dennis: Two-pole compensation頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  12. ^ Self, Douglas. Audio power amplifier design handbook. Oxford: Newnes. 2006: 191–193. ISBN 0-7506-8072-5. 
  13. ^ 也就是說,frequency以是十的冪次為單位繪圖,例如1, 10, 102等etc
  14. ^ 二極點放大器設計中,係數2會得到最大平坦(maximally flat)或是巴特沃斯濾波器設計。不過實際的放大器不止二個極點,有必要讓係數大於2