正交函數
在數學中,正交函數(orthogonal functions)所屬的函數空間是有雙線性形式的向量空間。當函數空間的定義域是一個區間,雙線性形式可能是積分式:
函數與在這個積分值是0時正交,即 只要 。 如有限維空間中的向量基一樣,正交函數可以形成函數空間的無限基。從概念上講,上述積分等效於矢量點積; 如果兩個向量的點積為零,則它們是相互獨立的(正交的)。
設 是非零L2-範數正交函數列。則數列是L2-範數的函數,形成了一個正交數列。一個有定義的L2-範數,積分必須有界,這限制了函數需要是平方可積函數。
三角函數
幾組正交函數在逼近函數時被用作標準基。例如,正弦函數sin nx和sin mx在積分區間 上是正交的,這裡 且n和m是正整數。而
- ,
兩個正弦函數的乘積的積分值就抵消了。[1] 加上餘弦函數,這些正交函數可以用於組成一個三角多項式,通過傅里葉級數在一個區間上逼近給定的函數。
多項式
對於單項式序列 (區間 )進行格拉姆-施密特正交化可以得到勒讓德多項式。另一類正交多項式是伴隨勒讓德多項式。
正交多項式的研究與權重 有關:
- 。
對於 區間上的拉蓋爾多項式,權重函數是 。
物理學家或概率論研究者在 區間上使用埃爾米特多項式,權重是 或 。
切比雪夫多項式定義在 上,使用權重 或 。
二值函數
有理函數
勒讓德多項式和切比雪夫多項式在[−1, 1]上提供正交函數族,但偶爾需要[0, ∞)上的正交函數族。這種情況下可以先使用Cayley變換,讓參數在[−1, 1]內。這個過程可以得到 有理正交函數族,稱為勒讓德有理函數和切比雪夫有理函數。
在微分方程中
參見
參考資料
- ^ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw
- George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
- Price, Justin J. Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. 1975, 82: 594–609 [2020-08-17]. doi:10.2307/2319690. (原始內容存檔於2021-01-15).
- Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.