索末菲恆等式

索末菲恆等式 是由阿諾德索末菲提出的一個數學恆等式，該恆等式用於波傳播理論中，

${\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}$

其中

$\mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}$

取正實數部分，以確保積分收斂和 $z\rightarrow \pm \infty$

$R^{2}=r^{2}+z^{2}$。

$R$ 表示到原點的距離，同時 $r$是$(r,\phi ,z)$ 柱坐標系統中到圓柱中心軸的距離。 這裡貝塞爾函數的符號遵循德國慣例，與索末菲使用的原始符號一致。$I_{0}(z)$第一類零階貝塞爾函數，在英文文獻中通常標記為$I_{0}(z)=J_{0}(iz)$ 。 。

索末菲恆等式可以更容易地看作是球面波特別是圓柱對稱波的擴展，

${\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}$

其中

$k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}$

. 這裡使用的符號不同於上面： 這裡的$r$ 是圓柱坐標系中的徑向距離。 其物理解釋是球面波可以擴展成為$\rho$方向上柱面波的總和，乘以 $z$ 方向上雙面平面波，參見 Jacobi-Anger expansion。 必須對所有波數 $k_{\rho }$求和。

索末菲恆等式與柱對稱的二維 傅里葉變換密切相關，即漢克爾變換。 它是通過改變沿面坐標($x$,$y$, 或 $\rho$, $\phi$)的球面波，但不改變沿高度坐標$z$得到的。