線性動態系統

線性動力系統是演化函數滿足線性關係的動力系統。一般來說，動力系統沒有解析解，而線性動力系統則可以精確求解，且具有豐富的數學性質。線性系統還可用於理解一般動力系統的定性行為，方法是計算系統平衡點，並將其近似為每個平衡點周圍的線性系統。

概述

線性動力系統中，狀態向量（$N$維向量，記作$\mathbf {x}$）的變化等於常數矩陣（記作$\mathbf {A}$）乘以 $\mathbf {x}$。這種變化有兩種形式：流，即$\mathbf {x}$隨時間連續變化

${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)$

或映射，其中 $\mathbf {x}$隨時間離散變化

$\mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{m}$

這些方程在以下意義上是線性的：如若 $\mathbf {x} (t)$、$\mathbf {y} (t)$ 是兩個有效解，那麼它們的任意線性組合也是有效解，如 $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ ，其中$\alpha$、$\beta$ 為任意標量。矩陣$\mathbf {A}$不必對稱。

線性動力系統可精確求解，而大多數非線性動力系統不能。偶爾，非線性系統也可將變量變換為線性系統來精確求解。此外，（幾乎）任何非線性系統的解都可通過其定點附近的等效線性系統很好地逼近。因此，理解線性系統及其解法是理解更複雜的非線性系統的關鍵一步。

線性動力系統的解

若初向量$\mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)$ 與矩陣$\mathbf {A}$的一個右特徵向量$\mathbf {r} _{k}$對齊，那麼動力系統就是

${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}$

其中$\lambda _{k}$是相應的特徵值；方程的解為

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}$

可以通過替換來確認。

若$\mathbf {A}$是可對角化矩陣，那麼$N$維空間中的任何向量都可用矩陣$\mathbf {A}$的左右特徵向量（記作$\mathbf {l} _{k}$）的線性組合表示。

$\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}$

因此$\mathbf {x} (t)$的一般解是右特徵向量各解的線性組合

$\mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}$

離散情形同理。

二維中的分類

非線性系統的線性近似：根據雅各布矩陣的跡和行列式（平衡點附近系統的線性化）對二維定點進行分類。

特徵多項式det(A - λI)的根就是A的特徵值。根$\lambda _{n}$的符號與相互關係可確定動力系統

${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).$

的穩定性。對於2維系統，特徵多項式形式為$\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0$，其中$\tau$是跡，$\Delta$是A的行列式。因此，這兩個根的形式是

$\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}$

$\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}$,

且$\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$，$\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}$。因此，如果$\Delta <0$，則特徵值符號相反，定點為鞍點。若$\Delta >0$，則特徵值符號相同。因此，若$\tau >0$則兩個特徵值都為正，該點不穩定；若$\tau <0$則兩個特徵值都為負，該點穩定。判別式將說明該點是節點型還是螺旋型（即特徵值是實值還是復值）。

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